1、4.2.3 函数建模案例教学设计一、教材分析课题：北京师范大学出版社数学必修1第四章函数应用第二节实际问题的函数建模第三课函数建模案例教学内容：数学建模是数学核心素养的重要内容，是数学学习的本质，掌握数学建模能促使学生用数学知识表达世界，改造世界。本节课是在学生掌握了实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题的基础上，进一步学习函数建模案例。本课通过创设问题情境，对问题进行分析、数学实验、函数模型建立与求解、模型的检验、练习巩固、总结提升，使学生理解和把握函数建模的一般过程。在解决问题的过程中,使学生领会科学运用信息技术处理数据（例如画散点图、解方程组等），将数学与信息技术进行整合。二、学情分
2、析学生已经掌握了函数的概念，掌握了二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，逐步建立应用函数知识的能力。本课是解决与实际生活密切相关的数学问题，学生表现出浓厚的学习兴趣，同学们的积极性和主动性都很高。学生良好的学习兴趣是培育数学建模能力的重要基础。但限于学生们对数学知识掌握的局限性，且综合应用意识、应用能力比较弱。函数建模案例体现的是数学知识的实际应用，是函数学习的重要内容，而这又是大多数学生的数学学习的难点。数学建模需要正确运用数学知识解决实际问题，通过数学建模的学习不断提高学生的分析问题能力、抽象概括能力，较好的全局运筹能力和局部处理能力，这些要求对学生的学习造成了一
3、定的困难。因此在教学中要循序渐进，同时学生还要掌握基本的信息技术知识，能利用信息技术处理一些简单的数学问题。三、设计思想课程标准提出高中数学六大核心素养其中数学建模是其重要内容，因此课程设置要提供实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程，使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。教学过程中要坚持以学生为主体和教师为主导，引导学生积极主动、勇于探索的学习方式。在教学过程中科学利用信息技术来呈现相应的教学内容，同时鼓励学生恰当运用计算机、计算器等进行探索和发现，以达到信息技术与数
4、学课程的有机整合。本课是通过做实验收集数据，对数据进行分析、处理，进而建立数学模型，进行问题解决的，所以应采用“实验建模”的教学方式。四、三维目标根据新课程标准并结合学生实际，确定本节课的三维目标如下：1.知识和技能（1）学会把实际问题转化为数学问题，能够建立恰当的函数模型并利用已知函数性质使问题得以求解，学会对函数模型的评价分析，掌握数学建模的一般过程。（2）通过把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生产生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。2.过程和方法（1）将实际问题转化为数学问题来解决，学生自主经历和体验函数建模的的过程。（2）通过运用
5、信息技术画散点图、解方程组等，使学生认识到信息技术在解决数学问题过程中所起到的作用。3.情感态度和价值观（1）体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验函数与世界的密切联系，体验函数在刻画现实问题中的作用。（2）通过实际问题的解决，培养学生科学的态度、合作的意识和实事求是的精神。五、教学的重点和难点重点：把实际问题转化为数学问题，建立恰当的函数模型并求解。难点：是如何将实际问题转化为数学问题，恰当地选择数学模型，将文字语言转化为数学语言。六、教学过程教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动课题引入叙述：现在很多家庭都以燃气作为烧水炒菜的燃料,节约用气是非常现实的问题。学生相互间讨论家庭
6、生活用气情况。提出实际情境，引出问题提出问题提出问题：以烧开一壶水为例，怎样烧最省燃气？答：烧开一壶水所用燃气最省，就是使用燃气最少。而烧开一壶水所用燃气量应该与燃气灶上控制燃气流量的旋钮的位置有关。提出问题，培养学生分析问题的能力。叙述：同学们分析的有道理。我们现在要研究的问题是旋钮在什么位置时烧开一壶水所用的燃气量最少？提问：那么烧开一壶水所用燃气量与旋钮位置能建立起什么关系呢？答：烧开一壶水所用燃气量与旋钮位置应该能建立起函数关系。问：那么旋钮位置这个量用什么数学知识来描述比较恰当？答：可用旋钮转角的大小来表示。分析问题分析推理：设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热
7、量不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气量将无止境；随着旋钮转角增大，即燃气流量增大，烧开一壶水所用燃气量会有所在减小；当旋钮转角很大时，燃气流量会很大，但燃气不一定充分燃烧，过分的热量不能充分作用于水壶，会产生浪费，烧开一壶水所用的燃气量也会比较大。思考中了解燃气灶的特性，为后面的试验作理论上的铺垫。问：燃气灶上旋钮位置与火力的关系吗？答：燃气灶上旋钮转角越大火力越大，当旋钮转角为90时火力最大。叙述：在做试验时旋钮转角不妨选择为18、36、54、72、90。观察投影、思考中数学实验数据叙述：我们做试验时记录相关数据如下位置燃气量（m3）180.130360.122540.139720.1
8、49900.172问：观察以上数据，你能得出旋钮转角为多少时烧开一壶水所用燃气最小吗？答：仅以上述数据还不能，因为旋钮在其它位置时烧开一壶水所用的燃气量不知道，即最小值不一定出现在已知数据中。培育学生实际操作能力和数据处理能力。问：那么你能不能根据以上数据得出任意位置与燃气量的关系吗？答：可以假设以位置为横坐标，相应燃气量为纵坐标的点均在某个函数图像上，进而求这个函数的解析，即得到位置与燃气量的函数关系。问：如何选择这个函数呢？答：通过画散点图，观察散点的分布特点恰当选择函数模型。模型建立与求解作出散点图如下：问：观察散点的分布特点，选择那一种函数模型比较合理？答：从图像可以看出二次函数的图像
9、与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化。渗透数形结合的思想，曲线拟合的方法，培养学生观察、分析、归纳的能力，理解利用函数模型解决实际问题增强学习数学的动力。提问：设二次函数式为，如何求出表达式中的系数？答：随机取三对数据代入表达式，利用待定系数法列出方程组即可求得系数。演示：不妨取(18,0.130)、(36,0.122)、(90,0.172)，得到方程组解得0.00002，0.00147，0.15033所以函数的解析式为y=0.00002x2-0.00147x+0.15033理解利用函数模型解决实际问题，学运用信息技术解方程组。叙述：由二次函数性质知当时，函数有最小值（m3），即当旋钮
10、转角大约为39时烧开一壶水所用的燃气量最小。理解利用函数模型的性质解决实际问题模型评价检验问：这个函数模型能反映旋钮在任何位置时烧开一壶水所用的燃气量吗？答：不能。我们知道当旋钮转角非常小时，其火力不能将一壶水烧开，长时间燃烧的燃气量却非常大，这说明贴近纵轴的点的位置就会很高，不在这个二次函数的图像上。培养学生通过现象看本质的能力，学会检验评价的能力。问：那该如何优化这个函数模型？答：我们的试验是在旋钮转角18至90这个范围内进行的，因此函数模型只适用旋钮转角在18至90这个范围，尽可能的多试验。叙述：同等条件下再做一次试验，取旋钮转角为39位置烧开一壶水，测量实际燃气用量是否是0.1218
11、m3，如果基本吻合，就可以依此作结论了。如果相差较大，特别是燃气用量大于0.122 m3时（实验数据中的最小值），说明数据选取得不好，可以换另外的数据重新计算，然后再检验，直至结果与实际比较接近就可以了。理性思考中培养学生理性的科学的态度和求真务实的科学精神。练习巩固练习：某地区未成年男性体重若超过相同身高未成年男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦。那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？(给出实验数据：经调查统计某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表)身高（cm）体重（kg）606.13707.90809.999012.110015.0211017.5012017.5013017.5014017.5015017.5016017.5017017.50学生借助信息技术动手计算进行对比，实际操作懂得函数建模的过程和魅力。学生画散点图观察所作散点图,可考虑用函数 来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数模型.利用待定系数法求出函数。解决实际问题。深化函数建模的建立和求解。数学建模的一般过程数学建模的过程可用如下的框图来表示：思考：什么是数学建模？ 数学建模的过程培养学生注重总结概括能力。作业P130：B组1、2及时反馈
