1、2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则2已知等差数列an的前n项和记为Sn，若a4+a6+a8=15，则S11的值为（）A55BC165D3函数y=（1+cos2x）sin2x是（）A以为周期的奇函数B以为周期的奇函数C以为周期的偶函数D以为周期的偶函数4不等式1的解集为（）A（，1）2，+）B（，0（1，+）C（1，2
2、D2，+）5已知点A（1，1），B（1，2），C（2，1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）ABCD6设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D7将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）ABCD8小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBv=CvDv=9已知为锐角，且cos（+）=，则sin2的值为（）ABCD10已知点O是ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4若存在非零实数x、y，使得，且x+2y=1，则cosBAC的值为（）ABCD11已知M是ABC内的
3、一点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D912已知数列an的通项公式为an=|n13|，则满足ak+ak+1+ak+19=102的整数k（）A有3个B有2个C有1个D不存在二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1则a5=_14不等式ax2+bx+20的解集为（，），则a+b等于_15如果正实数x，y满足xy+2x+y=4，则3x+2y的最小值为_16数列an满足a1=1，an+1=1，记Sn=a12+a22+an2，若S2n+1Sn对任意nN
4、*恒成立，则正整数m的最小值是_三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知tan=，计算：（1）；（2）18等差数列an的前n项和记为Sn，若a5=10，S7=49，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19设函数f（x）=mx2mx1（1）若对一切实数x，f（x）0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x1，3，f（x）m+5恒成立，求m的取值范围20设，是不共线的两个非零向量（1）若=2， =3+， =3，求证：A、B、C三点共线；（2）设=m， =n， =+，其中m，n，均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求
5、证： +=121已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，ABC的面积S=且sinA=（1）求sinB；（2）若边c=5，求ABC的面积S22设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小
6、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则【考点】不等关系与不等式【分析】对于A、当c0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a0b0时，不成立，从而得出正确选项【解答】解：A、当c0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、ac2bc2，c0，c20一定有ab故C成立；D、当a0b0时，不成立；故选C2已知等差数列an的前n项和记为Sn，若a4+a6+a8=15，则S11的值为（）A55BC165D【考点】等差数列的性质【分析】由数列an为等差数列
7、，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a6的方程，求出方程的解得到a6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S11，并利用等差数列的性质化简后，将a6的值代入即可求出值【解答】解：等差数列an，a4+a8=2a6，又a4+a6+a8=15，3a6=15，即a6=5，又a1+a11=2a6，则S11=11a6=55故选：A3函数y=（1+cos2x）sin2x是（）A以为周期的奇函数B以为周期的奇函数C以为周期的偶函数D以为周期的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用查二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和奇偶性得出结论【解答】解：函数y
8、=（1+cos2x）sin2x=（1+cos2x）=sin22x=，故函数的周期为=，且函数为偶函数，故选：D4不等式1的解集为（）A（，1）2，+）B（，0（1，+）C（1，2D2，+）【考点】其他不等式的解法【分析】原不等式可化为（x2）（x1）0，且x1，解得即可【解答】解：1，可化为10，即为0，即（x2）（x1）0，且x1，解得x1或x2，故不等式的解集为（，1）2，+），故选：A5已知点A（1，1），B（1，2），C（2，1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）ABCD【考点】平面向量数量积的含义与物理意义【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案【解答】解：，则向量方向
9、上的投影为： cos=，故选A6设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D【考点】基本不等式；等比数列的性质【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a3b=3，所以a+b=1，当且仅当即时“=”成立，故选择B7将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，可得结论【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象沿x
10、轴向右平移个单位后，得到函数的图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x+），再根据所得函数为偶函数，可得+=k+，kz故的一个可能取值为：，故选：A8小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBv=CvDv=【考点】基本不等式【分析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v=及0ab，利用基本不等式及作差法可比较大小【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v=0aba+b0va=va综上可得，故选A9已知为锐角，且cos（+）=，则sin2的值为（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】根据同角的三角
11、函数的基本关系，利用三角恒等变换，即可求出sin2的值【解答】解：为锐角，且cos（+）=，sin（+）=，sin（2+）=2sin（+）cos（+）=2=，cos（2+）=2cos2（+）1=21=；sin2=sin（2+）=sin（2+）coscos（2+）sin=（）=故选：D10已知点O是ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4若存在非零实数x、y，使得，且x+2y=1，则cosBAC的值为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】对等式两边分别乘以，便可得到，根据O为ABC外接圆的圆心，便可得到，从而可以得出，然后联立x+2y=1即可解出x，y，cosBAC，并需满足x，
12、y非零，这便可得出cosBAC【解答】解：如图，由得：；， =8；，联立x+2y=1解得，或；x，y都不为0；故选：A11已知M是ABC内的一点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosBAC=2bc=4，故SABC=x+y+=bcsinA=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）
13、=18，故选B12已知数列an的通项公式为an=|n13|，则满足ak+ak+1+ak+19=102的整数k（）A有3个B有2个C有1个D不存在【考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，因此对k进行讨论，进而求得ak+ak+1+ak+19的表达式，解方程即可求得结果【解答】解：an=|n13|=，若k13，则ak=k13，ak+ak+1+ak+19=102，与kN*矛盾，1k13，ak+ak+1+ak+19=（13k）+（12k）+0+1+（k+6）=102解得：k=2或k=5满足ak+ak+1+ak+19=102的整数k=2，5，故选B二、填空题（本大题共4小题
14、，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1则a5=1【考点】等差数列的性质【分析】由S2=S6，a4=1，先求出首项和公差，然后再求a5的值【解答】解：由题设知，a1=7，d=2，a5=7+4（2）=1故答案为：114不等式ax2+bx+20的解集为（，），则a+b等于14【考点】一元二次不等式的解法【分析】通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，即可求出a+b【解答】解：不等式ax2+bx+20的解集为（，），为方程ax2+bx+2=0的两个根根据韦达定理：+= = 由解得：a+b=14故答案为1415如
15、果正实数x，y满足xy+2x+y=4，则3x+2y的最小值为5【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正实数x，y满足xy+2x+y=4，y=0，解得0x2则3x+2y=3x+2=3（x+1）+7127=5，当且仅当x=1时取等号3x+2y的最小值为5故答案为：516数列an满足a1=1，an+1=1，记Sn=a12+a22+an2，若S2n+1Sn对任意nN*恒成立，则正整数m的最小值是10【考点】数列递推式【分析】数列an满足a1=1，an+1=1，可得=4，利用等差数列的通项公式可得=作差（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（Sn+1
16、Sn）（S2n+3S2n+1）=，即可得出数列S2n+1Sn单调性，进而得出【解答】解：数列an满足a1=1，an+1=1，=4，数列是等差数列，首项为1，公差为4=Sn=a12+a22+an2，（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（Sn+1Sn）（S2n+3S2n+1）=+0，数列S2n+1Sn是单调递减数列，数列S2n+1Sn的最大项是S3S1=，又m为正整数，m的最小值为10故答案为：10三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知tan=，计算：（1）；（2）【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求
17、式子的值【解答】解：（1）tan=，=（2）=18等差数列an的前n项和记为Sn，若a5=10，S7=49，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a5=10，S7=49，利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出（2）bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a5=10，S7=49，a1+4d=10，7a1+d=49，联立解得a1=2，d=3，an=2+3（n1）=3n5（2）bn=，数列bn的前n项和Tn=+=19设函数f（x）=mx2mx1（1）若对一切实数x，f
18、（x）0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x1，3，f（x）m+5恒成立，求m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用【分析】（1）若f（x）0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案（2）若对于x1，3，f（x）m+5恒成立，则恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=10恒成立，当m0时，若f（x）0恒成立，则解得4m0综上所述m的取值范围为（4，0（2）要x1，3，f（x）m+5恒成立，即恒成立令当 m0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m60，解得所以当m=0时，60恒成立当
19、m0时，g（x）是减函数所以g（x）max=g（1）=m60，解得m6所以m0综上所述，20设，是不共线的两个非零向量（1）若=2， =3+， =3，求证：A、B、C三点共线；（2）设=m， =n， =+，其中m，n，均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证： +=1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量【分析】（1）=， =，可得=2，即可证明（2）由M、P、N三点共线，可得：存在实数，使得=，化为： =+，由，是不共线的两个非零向量，即可得出【解答】证明：（1）=（3+）（2）=+2，=（3）（3+）=24=2，共线，有公共端点BA、B、C三点共线（2）M、P、
20、N三点共线，存在实数，使得=，=，解得=+，是不共线的两个非零向量，21已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，ABC的面积S=且sinA=（1）求sinB；（2）若边c=5，求ABC的面积S【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用余弦定理、三角形面积计算公式可得C，再利用同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、和差公式即可得出（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由余弦定理有c2=a2+b22abcosC，a2+b2c2=2abcosC，则，又，cosC=sinC，tanC=1，在ABC中，在ABC中或，但A+B+C=，sinB=（2）由正弦定理
21、有，又c=5，得b=7，S=bcsinA=22设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】（）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（）先得出an，再解关于n的不等式，根据bn的定义求得bn再求得S2m；（）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题【解答】解：（）由题
22、意，得，解，得成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7（）由题意，得an=2n1，对于正整数m，由anm，得根据bm的定义可知当m=2k1时，bm=k（kN*）；当m=2k时，bm=k+1（kN*）b1+b2+b2m=（b1+b3+b2m1）+（b2+b4+b2m）=（1+2+3+m）+2+3+4+（m+1）=（）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+qm及p0得bm=3m+2（mN*），根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，即2pq（3p1）mpq对任意的正整数m都成立当3p10（或3p10）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p1=0，即时，得，解得（经检验符合题意）存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）；p和q的取值范围分别是，2016年9月27日
