1、第5讲 函数的值域与最值【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法【基础检测】1设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题：若存在常数 M，使得对任意 xR，有 f(x)M，则 M 是函数 f(x)的最大值；若存在 x0R，使得对任意 xR，且 xx0，有f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；若存在 x0R，使得对任意 xR，有 f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值这些命题中，正确命题的个数是()A0 个B1 个C2 个D3 个【解析】根据最大值的定义，对于M 可能是最大值，也
2、可能是比最大值还大的数；则显然与最大值的定义是一致的，因此是正确的C2函数 f(x)2x1在区间6，2上的最大值和最小值分别是27，23【解析】函数 f(x)2x1在区间6，2上单调递减，故最大值为 f(6)27，最小值为 f(2)23.3函数 f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，)D1，)A【解析】3x11，f(x)log2(3x1)log210.故选 A.4若函数 yx24x2 的定义域为0，m，值域为6，2，则 m 的取值范围是()A(0，4 B2，4C(0，2 D(2，4)B【解析】因为函数的对称轴为 x2 且 f(0)2，f(2)6，数形结合，得 2m4，
3、选 B.5若 f(x)和 g(x)都是奇函数，且 F(x)f(x)g(x)2 在(0，)上有最大值 8，则 F(x)在(，0)上有()A最小值8 B最大值8C最小值6 D最小值4D【解析】根据题意有 f(x)g(x)在(0，)上有最大值 6，又因为 f(x)和 g(x)都是奇函数，所以 f(x)g(x)在(，0)上有最小值6，则 F(x)在(，0)上也有最小值624，故正确选项为 D.【知识要点】1函数的值域函数 f(x)的值域是_的集合，记为y|yf(x)，xA，其中 A 为 f(x)的定义域2常见函数的值域(1)一次函数 ykxb(k0)的值域为_(2)二次函数 yax2bxc(a0)，当
4、 a0 时，值域为4acb24a，；当 a0 时，值域为，4acb24a.函数值yR(3)反 比 例 函 数y kx(k0)的 值 域 为_(4)指 数 函 数 y ax(a 0 且 a1)的 值 域 为_(5)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的值域为_ _(6)正、余弦函数 ysin x，ycos x 的值域为_；正切函数 ytan x 的值域为_(，0)(0，)(0，)R 1，1 R 3函数的最值一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M：(1)若xI，f(x)M 且x0I，f(x0)M，则称M 为 f(x)的_(2)若xI，f(x)M 且x0I，f(x0)M，则称
5、M 为 f(x)的_最大值最小值一、函数值域的求法例1求下列函数的值域：(1)y2x 1x；(2)y2x 1x2；(3)yx22x5x1；(4)若 x，y 满足 3x22y26x，求函数 zx2y2的值域【解析】(1)令 t 1x(t0)，x1t2，y2(1t2)t2t2t22t142178.t0，y178，故函数的值域为，178.(2)令 xcos t(0t)，y2cos tsin t5sin(t)其中cos 15，sin 25.0t，t，sin()sin(t)1.故函数的值域为2，5(3)解法一：yx22x5x1（x1）24x1(x1)4x1，又x1 时，x10，x1 时，x10，当 x1
6、 时，y(x1)4x12 44，当且仅当 x3 时，等号成立；当 x1 时，y（x1）4（x1）4，当且仅当 x1，等号成立 函数的值域为(，44，)解法二：yx22x5x1，x2(y2)x(y5)0，又函数的定义域为(，1)(1，)，方程 x2(y2)x(y5)0 有不等于 1 的实根(y2)24(y5)y2160，解得 y4 或 y4.当 y4 时，x1；y4 时，x3.故所求函数的值域为(，44，)(4)3x22y26x，2y26x3x20，解得0 x2.zx2y2x23x32x212x23x12(x3)292.对称轴为 x32，即 z 在 x0，2上单调递增当 x0 时，z有最小值 0
7、，当 x2 时，z 有最大值 4，故所求函数的值域为0，4【点评】求函数值域的常用方法：单调性法，配方法，分离常数法，数形结合法，换元法(包括代数换元与三角换元)，判别式法，不等式法，导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域；对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握二、函数的最值及应用例2(1)对任意两个实数 x1，x2，定义 max(x1，x2)x1，x1x
8、2，x2，x1x2.若 f(x)x22，g(x)x，则max(f(x)，g(x)的最小值为_(2)若对于任意的 x0，1，不等式 1ax1x11bx 恒成立，则 a 的最小值为_b 的最大值为11212 2【解析】(1)由题意作出 max(f(x)，g(x)的图象如图所示，由图象可知函数的最小值在 A 处取得，所以最小值为 f(1)1.(2)先将对于任意的 x0，1，不等式 1ax1x11bx 恒成立，转化为 a1x11x1，b1x11x1 恒成立，构造函数 f(x)1x11x1，用换元法，设 x1t1，2，将 f(x)转化成 y1t（t1），用配方法求函数的最值，代入即可 a1x11x1，b
9、1x11x1，设 f(x)1x11x1，令x1 t1，2 ，f(x)y 1t（t1）12 2，12，af(x)max12，bf(x)min12 2.三、含参变量的函数值域与最值问题例3已知函数 f(x)的值域为0，4(x2，2)，函数 g(x)ax1，x2，2若x12，2，总x02，2，使得 g(x0)f(x1)成立，求实数 a 的取值范围【解析】只需要函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集即可 当 a0 时，g(x)ax1 单调递增x2，2，2a1g(x)2a1，要使条件成立，只需2a10，2a14，a12，a52，a52.当 a0 时，g(x)ax1 单调递减x2，2，2a1g(x
10、)2a1，要使条件成立，只需2a10，2a14.a12，a52，a52.综上，a 的取值范围是，52 52，.【点评】含量词的命题常常可转化为最值问题分析讨论例4若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数，且存在区间a，bD(其中 ab)，使得当 xa，b时，f(x)的取值范围恰为a，b，则称函数 f(x)是 D 上的正函数，区间a，b叫做等域区间(1)已知 f(x)是0，)上的正函数，求 f(x)的等域区间；(2)试探究是否存在实数 m，使得函数 g(x)x2m 是(，0)上的正函数？若存在，请求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由12x【解析】(1)f(x)x是0，)上的正函数，且
11、 f(x)x在0，)上单调递增，当 xa，b时，f（a）a，f（b）b，即 aa，bb，解得 a0，b1，故函数 f(x)的“等域区间”为0，1(2)函数 g(x)x2m 是(，0)上的减函数，当 xa，b时，g（a）b，g（b）a，即a2mb，b2ma，两式相减得 a2b2ba，即 b(a1)，代入 a2mb，得出(a)a2am10，则其函数(a)的对称轴为 a12.由 ab0，且 b(a1)0，得1a0，h12 0恒成立x22xa0 恒成立 设 yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1 在1，)上递增，当 x1 时，ymin3a，于是，当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)
12、0恒成立，故 a3.解法二：f(x)xax2，x1，)，当 a0 时，函数 f(x)的值恒为正，当 a0 时，函数 f(x)递增，故当 x1 时，f(x)min3a，于是当且仅当 f(x)min3a0 时，函数 f(x)0恒成立，故 a3.解法三：在区间1，)上，f(x)x22xax0恒成立 x22xa0 恒成立ax22x 恒成立 a 应大于 ux22x，x1，)的最大值，a(x1)21，当 x1 时 u 取最大值3，a3.【点评】求解含参不等式恒成立问题的关键是将问题等价转化，利用函数方程思想求解1函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域2求值域的常用方法：一
13、是要掌握基本的初等函数及它们的复合函数的值域；二是要掌握利用单调性求值域；三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本的方法，此外还有基本不等式法、数形结合法等3最值可由值域而得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件4分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通法之一，注意分清“主元”和“参数”1(2015 山东)已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则 ab_32【解析】利用指数函数的单调性建立关于 a，b的方程组求解 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1，0上为增函数，由题意得a1b1，a0b0，无解当 0a2(a0，且 a1)的值域是4，)，则
14、实数 a 的取值范围是 .(1，2【解析】由值域入手，分类讨论求出 a 的取值范围 当 x2 时，yx64.f(x)的值域为4，)，当 a1 时，3logax3loga24，loga21，1a2；当 0a1 时，3logax3loga2，不合题意 故 a(1，2【命题立意】本题主要考查分段函数，函数的性质，考查学生分析问题、解决问题的能力1函数 ylog2xlogx(2x)的值域为()A(，1 B3，)C1，3 D(，13，)D【解析】ylog2xlogx21.故 log2xlogx22 或 log2xlogx22.所以 y3 或 y1.2定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab时，abb2
15、，则函数 f(x)(1x)x(2x)，x 2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12C【解析】由已知得当2x1 时，f(x)x2，当 1x2 时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32 在定义域内都为增函数 f(x)的最大值为 f(2)2326.3若函数 f(x)的值域是12，3，则函数 F(x)f(x)1f（x）的值域是()A.52，103B.0，103C.2，103D.2，52C【解析】令 tf(x)，则12t3.易知函数 g(t)t1t在区间12，1 上是减函数，在1，3上是增函数 又g12 52，g(1)2，g(3)103.可知函数 F(x)f(x)1f（x）的值域为2，103
16、.4设 f(x)x2，|x|1，x，|x|1，g(x)是二次函数，若fg(x)的值域是0，)，则 g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)C【解析】f(x)的图象如图所示：f(x)的值域为(1，)若 fg(x)的值域为0，)，只需g(x)(，10，)，而 g(x)为二次函数，所以 g(x)0，)，故选 C 项5已知 f(x)12(x|x|)，g(x)x，x0，x2，x0，函数 fg(x)，值域为 0，x0，x2，x00，)【解析】当 x0 时，g(x)x2，故 fg(x)f(x2)12(x2|x2|)12(x2x2)x2；当 x0 时，g(x)x，故 fg(x)f(x)
17、12(x|x|)12(xx)0.fg(x)0，x0，x2，x0.由于当 x0 时，x20，故 fg(x)的值域为0，)6若函数 f(x)12x2xa 的定义域和值域均为1，b(b1)，求 a，b 的值【解析】f(x)12(x1)2a12，其对称轴为 x1，即函数 f(x)在1，b上单调递增 f(x)minf(1)a121，f(x)maxf(b)12b2bab，又 b1，由解得a32，b3，a，b 的值分别为32，3.7若 aR，函数 f(x)13x312ax2(a1)x.当 x1，2时，1f(x)23恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】因为 f(x)(x1)x(a1)，又因为1，11，2，所
18、以 f(1)32a231，23，f(1)12a231，23，即132a2323且112a2323，解之得109 a0.所以1(a1)19.当 a0 时，f(x)maxmaxf(1)，f(2)23，f(x)minf(1)23，满足条件 当109 a0 时，1(1，(a1)(a1)(a1)，1)1(1，2)2f(x)00f(x)a单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以 f(x)在1，(a1)，1，2上单调递增，在(a1)，1上单调递减，所以 f(x)minmin(f1)，f(1)1，f(2)23，23所以只要 f(a1)23恒成立即可 设 g(a)f(a1)16(a4)(a1)2，因为 g(a)
19、12(a3)(a1)，所以 g(a)maxmaxg109，g(0)g(0)23，则 f(a1)23恒成立 故实数 a 的取值范围是109，0.8已知函数 f(x)x24ax2a6.(1)若函数 f(x)的值域为0，)，求 a 的值；(2)若函数 f(x)的函数值均为非负数，求 f(a)2a|a3|的值域【解析】(1)函数的值域为0，)，16a24(2a6)02a2a30 a1 或 a32.(2)对一切 xR 函数值均为非负，8(2a2a3)01a32，a30，f(a)2a|a3|a23a2，a322174 a1，32.二次函数 f(a)在1，32 上单调递减，f32 f(a)f(1)，即194 f(a)4，f(a)的值域为194，4.9已知函数 y1x1xlg(34xx2)的定义域为 M.(1)求 M；(2)当 xM 时，求 f(x)a2x234x(a3)的最小值【解析】(1)依题意，有1x1x0，且x1，34xx20，解得 M1，1)(2)f(x)a2x234x32x2a3243a2，又122x2，a3，2a3 2.若2a3 12，即 a34时，f(x)minf(1)2a34，若122a3 2，即3a34时，则 2x23a，即 xlog22a3 时，f(x)min43a2.
