1、浙江省 A9 协作体 2021-2022 学年高二上学期数学期中联考试卷一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线恒过一定点，则此定点为（）A.B.C.D.2.已知且,则 x 的值是（）A.3B.4C.5D.63.若直线与互相垂直，则（）A.-2B.1C.-1 或 2D.-1 或-24.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是，则它的离心率为（）A.B.C.或D.不确定5.若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（）A.0B.1C.2D.不确定6.如图，在三棱柱中，与相交于点，
2、则线段的长度为（）A.B.C.D.7.设，点，过点引圆的两条切线，若的最大值为，则的值为（）A.2B.C.D.18.已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为（）A.B.2C.3D.二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知双曲线 C：，下列对双曲线 C 判断正确的是（）A.实轴长是虚轴长的 2 倍B.焦距为 4C.离心率为D.渐近线方程为10.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.两圆有且仅有两条公切线B.的最大值为 1
3、0C.两个圆心所在直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线方程为11.下列命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；B.若非零向量，满足，则有；C.在四面体中，若，则；D.若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.12.已知椭圆：上有一点，分别为左右焦点，的面积为，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则满足题意的点有四个C.椭圆内接矩形周长的最大值为 20D.若为钝角三角形，则三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知直线的向上方向与轴正向所成的角为 60，则直线的斜率为.14.已知，为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，满足，求的面积为.
4、15.已知实数，满足，则的最大值为.16.已知 A、B 是抛物线上异于坐标原点 O 的两点，满足，且面积的最小值为 36，则正实数 P；若 ODAB 交 AB 于点 D，若为定值，则点 Q 的坐标为四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.直线经过两直线：和：的交点.（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为 5，求直线的方程.18.已知点，圆：.（1）若过点的圆的切线只有一条，求实数的值及切线方程；（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求实数的值.19.如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，分别是的
5、中点，点在线段上，且.（1）求证：面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.20.如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.21.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值.22.已知点是曲线上任意一点，点到点的距离与到直线轴的距离之差为 1.（1）求曲线的方程；（2）设直线，为曲线的两条互相垂直切线，切点为 A，交点为点.（i）求点的轨迹方程；（ii）求证：直线过定点，并求出定点坐标.答案解析部分浙江省 A9 协作体 2021-2022
6、 学年高二上学期数学期中联考试卷一、单选题1.直线恒过一定点，则此定点为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】恒过定点的直线【解析】【解答】直线可变形为：，由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点。故答案为：A【分析】将直线变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。2.已知且,则 x 的值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】因为所以,解得。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数 x 的值。3.若直线与互相垂直，则（）A.-2B.1C.-1 或 2D.-1 或-2【答案】D 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直
7、关系【解析】【解答】直线与互相垂直，解得或。故答案为：D【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数 a 的值。4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是，则它的离心率为（）A.B.C.或D.不确定【答案】C 【考点】双曲线的简单性质【解 析】【解 答】双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 是，当 焦 点 在轴 上 时，；当焦点在轴上时，故离心率为或。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。5.若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数
8、是（）A.0B.1C.2D.不确定【答案】C 【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】因为直线和圆没有交点，所以圆心到直线的距离，可得：，即点在圆内，又因为圆内切于椭圆，所以点在椭圆内，即过点的直线与椭圆有两个交点。故答案为：C.【分析】利用直线和圆没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点在圆内，再利用圆内切于椭圆，所以点在椭圆内，从而得出过点的直线与椭圆的交点个数。6.如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的
9、含义与物理意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】三棱柱中，因 为与相 交 于 点，所 以是与的 中 点，所以，因为，所以，所以，则线段的长度为。故答案为：A【分析】在三棱柱中，再利用与相交于点，所以是与的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出，所以，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段的长度。7.设，点，过点引圆的两条切线，若的最大值为，则的值为（）A.2B.C.D.1【答案】B 【考点】直线和圆的方程的应用【解析】【解答】根据题意，设直线，圆心为，如图，集合表示直线的左下方区域（包括直线），要使最大，则必有最小，可得的最小值
10、为到直线的距离，此时，故。故答案为：B.【分析】根据题意，设直线，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合表示直线的左下方区域（包括直线），要使最大，则必有最小，可得的最小值为到直线的距离，再利用点到直线的距离公式得出 MP 的长，再结合角之间的关系得出的值，再利用正弦函数的定义，从而求出 r 的值。8.已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为（）A.B.2C.3D.【答案】D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义【解析】【解答】由抛物线：可知焦点为，设直线的方程为，由，得，设，则，由抛物线的定义可知，当且仅当时取等号。故答案为：D
11、【分析】由抛物线：可知焦点 F 的坐标，设直线的点斜式方程为，设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由抛物线的定义可知从而得出，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值。二、多选题9.已知双曲线 C：，下列对双曲线 C 判断正确的是（）A.实轴长是虚轴长的 2 倍B.焦距为 4C.离心率为D.渐近线方程为【答案】B,D 【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线 C：.双曲线的实轴长是，虚轴长是，A 不符合题意；焦距为.B 符合题意；离心率为，C 不符合题意：渐近线方程为，D 符合题意.故答案为：BD【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出 a,b 的
12、值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 c 的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线 C 判断正确的选项。10.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.两圆有且仅有两条公切线B.的最大值为 10C.两个圆心所在直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线方程为【答案】B,C 【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径因为圆心距，所以两圆外切，所以两圆有 3 条公切线，A 不符合题意
13、；又在圆上，在圆上则的最大值为，B 符合题意；两圆圆心所在的直线斜率为，C 符合题意；因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D 不符合题意。故答案为：BC【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有 3 条公切线；再利用点在圆上，在圆上，再结合几何法得出的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。11.下列命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，
14、则；B.若非零向量，满足，则有；C.在四面体中，若，则；D.若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.【答案】A,C,D 【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】对于 A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，A 符合题意；对于 B：若非零向量，满足，则与不一定共线，B 不符合题意；对于 C：因为，所以，将上述两式相加得，所以，所以，C 符合题意；对于 D：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使，则，也是空间的一组基底.D 符合题意.故答案为：ACD.【分析】利用已知条件结合向
15、量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为 0 的等价关系，从而找出正确的命题。12.已知椭圆：上有一点，分别为左右焦点，的面积为，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则满足题意的点有四个C.椭圆内接矩形周长的最大值为 20D.若为钝角三角形，则【答案】B,C,D 【考点】椭圆的应用【解析】【解答】椭圆：，设，则，若，则，所以不存在，A 不符合题意；若，则，可得，故满足题意的点有四个，B 符合题意；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，椭圆内接矩形周长的范围为，即，C 符合题意；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时，当
16、为钝角三角形时，所以，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】利用椭圆：得出 a,b 的值，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 c 的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出的值，设，再利用三角形的面积公式，得出，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若，则，所以三角形不存在；若，从而得出满足题意的点有四个；设椭圆内接矩形的一个顶点为，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆内接矩形周长为其中，再由结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆内接矩形周长的范围；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形的面积
17、，当为钝角三角形时，从而结合三角形面积公式，得出三角形的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。三、填空题13.已知直线的向上方向与轴正向所成的角为 60，则直线的斜率为.【答案】【考点】直线的倾斜角，直线的斜率【解析】【解答】因为直线的向上方向与轴正向所成的角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为。故答案为：。【分析】直线的向上方向与轴正向所成的角为，所以直线的倾斜角为，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。14.已知，为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，满足，求的面积为.【答案】【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】由题意得，又因为，所以，又，所以，所以，所
18、以。故答案为：。【分析】由题意得，再利用双曲线定义，解方程组求出，的值，再利用，从而结合勾股定理推出，再利用三角形面积公式得出三角形的面积。15.已知实数，满足，则的最大值为.【答案】34 【考点】圆方程的综合应用【解 析】【解 答】设，则，又，所以，化简可得，其中，表示以为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，的最大值为。故答案为：34。【分析】设，则，再利用，所以化简可得，其中，表示以为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数的最大值。16.已知 A、B 是抛物线上异于坐标原点 O 的两点，满足，且面积的最小值为 3
19、6，则正实数 P；若 ODAB 交 AB 于点 D，若为定值，则点 Q 的坐标为【答案】3；（3，0）【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】设，因为，即，两边平方化简得，所以，所以，即，解得（舍去），设 直 线AB：，联 立得，所 以，所以，所以，又，解得，又因为，所以：直线 AB 为恒过定点，因为，所以，所以点 D 在以点，为直径的圆上，设圆心 Q，则，半径，所以为定值，进而求出点 Q 的坐标为。故答案为：3；。【分 析】设，再 利 用 平 行 四 边 形 法 则 和 三 角 形 法 则，得 出，两边平方化简得，再结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以，再利用数
20、量积的坐标表示，得出（舍去），设直线 AB 的斜截式 方 程 为：，再 利 用 直 线 与 抛 物 线 相 交，联 立 二 者 方 程 结 合 韦 达 定 理，得 出，所以，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形面积的最小值，再利用三角形面积的最小值为 36，从而求出 p 的值，再利用 t和 p 的关系式，从而求出 t 的值，进而求出直线 AB 为恒过定点 M 的坐标，再利用，所以，所以点 D 在以点，为直径的圆上，设圆心 Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出为定值，所以，进而求出点 Q 的坐标为。四、解答题17.直线经过两直线：和：的交点.（1）若直
21、线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为 5，求直线的方程.【答案】（1）解：直线方程与方程联立,得交点坐标为设直线的方程为：，代入交点得，所以的方程为（2）解：当直线的斜率不存在时，得的方程为：，符合条件.当斜率存在时，设直线的方程为：，根据，解得，所以直线的方程为.综上所述，为或【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线的斜率不存在时，结
22、合已知条件求出直线的方程，符合条件；当斜率存在时，设直线的点斜式方程为：，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线的方程。18.已知点，圆：.（1）若过点的圆的切线只有一条，求实数的值及切线方程；（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求实数的值.【答案】（1）解：若过点的圆的切线只有一条，则在圆上，即，解得，当时，则切线斜率为，则切线方程为，即；当时，则切线斜率为，则切线方程为，即；（2）解：设圆心到直线的距离为，则，当直线过原点时，设直线方程为，将代入直线中得：，又因为，计算得：，所以.当直线不过原点时，设直线为，将代入直线中得，所以，又因为，计算得：（舍）或
23、，所以.综上所述，或.【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质【解析】【分析】（1)若过点的圆的切线只有一条，则在圆上，再结合代入法得出 a 的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线 OA 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。（2）设圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得出 d 的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为，将代入直线中得出，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数 a 的值；当直线不过原点时，设直线为，将代入直线中得，再利用点到直线的距离公式得出 t 的值，进而
24、求出实数 a 的值。19.如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，分别是的中点，点在线段上，且.（1）求证：面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，又，所以为的中点，因为，且易知平面的一个法向量为，所以，所以面；（2）解：，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则，又平面的一个法向量，设为平面与平面所成的锐二面角，则.因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再结合已知条件，
25、从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面的一个法向量为，再利用结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，从而证出，进而证出面。（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出，再利用数量积为 0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，设为平面与平面所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成二面角的余弦值。20.如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1
26、）解：由已知，则由题意得：得，所以的方程为（2）解：由已知可得的斜率必存在，设的方程为：，直线与椭圆方程联立得：，整理得：，由可得所以令，所以，当，即时，等号成立，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆：的离心率是结合椭圆的离心率公式，得出 a,c 的关系式，再利用点在短轴上，且，再结合数量积的坐标表示，得出 b 的值，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式，从而解方程组求出 a,c 的值，进而求出椭圆 E 的标准方程。（2）由已知可得的斜率必存在，设的斜截式方程为：，再利用直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出和
27、，再结合三角形的面积公式，得出，令，再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形面积的最大值。21.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值.【答案】（1）证明：如图：以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，因为，所以，可得.（2）解：，当且仅当即时最大，所以当分别为，中点时体积最大，设面的法向量为，由，令可得，所以面的法向量为，设与面所成角为，则，【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空
28、间直角坐标系，设，则，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以，从而证出。（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当时，最大，所以当分别为，中点时体积最大，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥的体积取得最大值时的直线与面所成角的正弦值。22.已知点是曲线上任意一点，点到点的距离与到直线轴的距离之差为 1.（1）求曲线的方程；（2）设直线，为曲线的两条互相垂直切线，切点为
29、A，交点为点.（i）求点的轨迹方程；（ii）求证：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）解：设，则当时，所以，当 x0 时化简得；当时，由题意得，所以曲线的方程为：或.（2）解：(i)当时，不合题意，故设，则过点 A 的切线为：，同理可得过点的切线为：.根据可得.所以联立两条切线方程可得，所以的轨迹为(ii)由题意可得的直线方程为：，所以必过【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设，则当时，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线 C 的方程。（2）（i）当时，不合题意，故设，则过点 A 的切线的斜截式方程为：，同理可得过点的切线斜截式方程为：，再根据结合两直线垂
30、直斜率之积等于-1，从而可得，所以联立两条切线方程可得点交M 的横坐标，进而求出点的轨迹；(ii)由题意可得的直线方程，再结合点斜式求出直线 AB 过的定点坐标。浙江省 A9 协作体 2021-2022 学年高二上学期数学期中联考试卷一、单选题1.直线恒过一定点，则此定点为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】恒过定点的直线【解析】【解答】直线可变形为：，由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点。故答案为：A【分析】将直线变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。2.已知且,则 x 的值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】因为所以,解得。
31、故答案为：C.【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数 x 的值。3.若直线与互相垂直，则（）A.-2B.1C.-1 或 2D.-1 或-2【答案】D 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】【解答】直线与互相垂直，解得或。故答案为：D【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数 a 的值。4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是，则它的离心率为（）A.B.C.或D.不确定【答案】C 【考点】双曲线的简单性质【解 析】【解 答】双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 是，当 焦 点 在轴 上 时，；当焦点在轴上时，故离心率
32、为或。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。5.若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（）A.0B.1C.2D.不确定【答案】C 【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】因为直线和圆没有交点，所以圆心到直线的距离，可得：，即点在圆内，又因为圆内切于椭圆，所以点在椭圆内，即过点的直线与椭圆有两个交点。故答案为：C.【分析】利用直线和圆没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点在圆内，再
33、利用圆内切于椭圆，所以点在椭圆内，从而得出过点的直线与椭圆的交点个数。6.如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】三棱柱中，因 为与相 交 于 点，所 以是与的 中 点，所以，因为，所以，所以，则线段的长度为。故答案为：A【分析】在三棱柱中，再利用与相交于点，所以是与的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出，所以，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段的长度。7.设，点，过点引圆的两条切线，若的
34、最大值为，则的值为（）A.2B.C.D.1【答案】B 【考点】直线和圆的方程的应用【解析】【解答】根据题意，设直线，圆心为，如图，集合表示直线的左下方区域（包括直线），要使最大，则必有最小，可得的最小值为到直线的距离，此时，故。故答案为：B.【分析】根据题意，设直线，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合表示直线的左下方区域（包括直线），要使最大，则必有最小，可得的最小值为到直线的距离，再利用点到直线的距离公式得出 MP 的长，再结合角之间的关系得出的值，再利用正弦函数的定义，从而求出 r 的值。8.已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为（）
35、A.B.2C.3D.【答案】D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义【解析】【解答】由抛物线：可知焦点为，设直线的方程为，由，得，设，则，由抛物线的定义可知，当且仅当时取等号。故答案为：D【分析】由抛物线：可知焦点 F 的坐标，设直线的点斜式方程为，设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由抛物线的定义可知从而得出，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值。二、多选题9.已知双曲线 C：，下列对双曲线 C 判断正确的是（）A.实轴长是虚轴长的 2 倍B.焦距为 4C.离心率为D.渐近线方程为【答案】B,D 【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线 C
36、：.双曲线的实轴长是，虚轴长是，A 不符合题意；焦距为.B 符合题意；离心率为，C 不符合题意：渐近线方程为，D 符合题意.故答案为：BD【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出 a,b 的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 c 的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线 C 判断正确的选项。10.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.两圆有且仅有两条公切线B.的最大值为 10C.两个圆心所在直线斜率
37、为D.两个圆相交弦所在直线方程为【答案】B,C 【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径因为圆心距，所以两圆外切，所以两圆有 3 条公切线，A 不符合题意；又在圆上，在圆上则的最大值为，B 符合题意；两圆圆心所在的直线斜率为，C 符合题意；因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D 不符合题意。故答案为：BC【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有 3 条公切线；再利用点在圆上，在圆上，再结
38、合几何法得出的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。11.下列命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；B.若非零向量，满足，则有；C.在四面体中，若，则；D.若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.【答案】A,C,D 【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】对于 A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，A 符合题意；对于 B：若非零向量，满足，则与不一定共线，B 不符合题意；对于 C：因为，所以
39、，将上述两式相加得，所以，所以，C 符合题意；对于 D：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使，则，也是空间的一组基底.D 符合题意.故答案为：ACD.【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为 0 的等价关系，从而找出正确的命题。12.已知椭圆：上有一点，分别为左右焦点，的面积为，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则满足题意的点有四个C.椭圆内接矩形周长的最大值为 20D.若为钝角三角形，则【答案】B,C,D 【考点】椭圆的应用【解析】【解答】椭圆：，设，则，若，则，所以不存在，A 不符合题意；若，则，可得，故满足题意的点有四个，
40、B 符合题意；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，椭圆内接矩形周长的范围为，即，C 符合题意；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时，当为钝角三角形时，所以，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】利用椭圆：得出 a,b 的值，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 c 的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出的值，设，再利用三角形的面积公式，得出，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若，则，所以三角形不存在；若，从而得出满足题意的点有四个；设椭圆内接矩形的一个顶点为，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆内接矩形
41、周长为其中，再由结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆内接矩形周长的范围；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形的面积，当为钝角三角形时，从而结合三角形面积公式，得出三角形的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。三、填空题13.已知直线的向上方向与轴正向所成的角为 60，则直线的斜率为.【答案】【考点】直线的倾斜角，直线的斜率【解析】【解答】因为直线的向上方向与轴正向所成的角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为。故答案为：。【分析】直线的向上方向与轴正向所成的角为，所以直线的倾斜角为，再结合直线的斜率与倾斜
42、角的关系式，从而求出直线的斜率。14.已知，为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，满足，求的面积为.【答案】【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】由题意得，又因为，所以，又，所以，所以，所以。故答案为：。【分析】由题意得，再利用双曲线定义，解方程组求出，的值，再利用，从而结合勾股定理推出，再利用三角形面积公式得出三角形的面积。15.已知实数，满足，则的最大值为.【答案】34 【考点】圆方程的综合应用【解 析】【解 答】设，则，又，所以，化简可得，其中，表示以为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，的最大值为。故答案为：34。【分析】设，则，再利用，
43、所以化简可得，其中，表示以为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数的最大值。16.已知 A、B 是抛物线上异于坐标原点 O 的两点，满足，且面积的最小值为 36，则正实数 P；若 ODAB 交 AB 于点 D，若为定值，则点 Q 的坐标为【答案】3；（3，0）【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】设，因为，即，两边平方化简得，所以，所以，即，解得（舍去），设 直 线AB：，联 立得，所 以，所以，所以，又，解得，又因为，所以：直线 AB 为恒过定点，因为，所以，所以点 D 在以点，为直径的圆上，设圆心 Q，则，半径，所以为定值
44、，进而求出点 Q 的坐标为。故答案为：3；。【分 析】设，再 利 用 平 行 四 边 形 法 则 和 三 角 形 法 则，得 出，两边平方化简得，再结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以，再利用数量积的坐标表示，得出（舍去），设直线 AB 的斜截式 方 程 为：，再 利 用 直 线 与 抛 物 线 相 交，联 立 二 者 方 程 结 合 韦 达 定 理，得 出，所以，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形面积的最小值，再利用三角形面积的最小值为 36，从而求出 p 的值，再利用 t和 p 的关系式，从而求出 t 的值，进而求出直线 AB 为恒过定点 M 的坐标，再利用，
45、所以，所以点 D 在以点，为直径的圆上，设圆心 Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出为定值，所以，进而求出点 Q 的坐标为。四、解答题17.直线经过两直线：和：的交点.（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为 5，求直线的方程.【答案】（1）解：直线方程与方程联立,得交点坐标为设直线的方程为：，代入交点得，所以的方程为（2）解：当直线的斜率不存在时，得的方程为：，符合条件.当斜率存在时，设直线的方程为：，根据，解得，所以直线的方程为.综上所述，为或【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式【解
46、析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线的斜率不存在时，结合已知条件求出直线的方程，符合条件；当斜率存在时，设直线的点斜式方程为：，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线的方程。18.已知点，圆：.（1）若过点的圆的切线只有一条，求实数的值及切线方程；（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求实数的值.【答案】（1）解：若过点的圆的切线只有一条，则在圆上，即，解得，当时，则切线斜率为，则切线方程为，即；当时，则切线斜率为
47、，则切线方程为，即；（2）解：设圆心到直线的距离为，则，当直线过原点时，设直线方程为，将代入直线中得：，又因为，计算得：，所以.当直线不过原点时，设直线为，将代入直线中得，所以，又因为，计算得：（舍）或，所以.综上所述，或.【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质【解析】【分析】（1)若过点的圆的切线只有一条，则在圆上，再结合代入法得出 a 的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线 OA 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。（2）设圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得出 d 的值，再利用分类讨论的方法
48、，当直线过原点时，设直线方程为，将代入直线中得出，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数 a 的值；当直线不过原点时，设直线为，将代入直线中得，再利用点到直线的距离公式得出 t 的值，进而求出实数 a 的值。19.如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，分别是的中点，点在线段上，且.（1）求证：面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，又，所以为的中点，因为，且易知平面的一个法向量为，所以，所以面；（2）解：，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则，又平面的一个法向量，设为平面与平面所成
49、的锐二面角，则.因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面的一个法向量为，再利用结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，从而证出，进而证出面。（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出，再利用数量积为 0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，设为平面与平面所成的锐二面角，再结合
50、数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成二面角的余弦值。20.如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1）解：由已知，则由题意得：得，所以的方程为（2）解：由已知可得的斜率必存在，设的方程为：，直线与椭圆方程联立得：，整理得：，由可得所以令，所以，当，即时，等号成立，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆：的离心率是结合椭圆的离心率公式，得出 a,c 的关系式，再利用点在短轴上，且，再结合数量积的坐标表示，得出 b 的值，再结合椭圆中 a,b,
51、c 三者的关系式，从而解方程组求出 a,c 的值，进而求出椭圆 E 的标准方程。（2）由已知可得的斜率必存在，设的斜截式方程为：，再利用直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出和，再结合三角形的面积公式，得出，令，再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形面积的最大值。21.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值.【答案】（1）证明：如图：以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，因为，所以，可得.（2）解：，当且仅当即时最大，所以当分别为，中点时体积最大，设面的法向量为
52、，由，令可得，所以面的法向量为，设与面所成角为，则，【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，则，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以，从而证出。（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当时，最大，所以当分别为，中点时体积最大，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公
53、式，从而求出当三棱锥的体积取得最大值时的直线与面所成角的正弦值。22.已知点是曲线上任意一点，点到点的距离与到直线轴的距离之差为 1.（1）求曲线的方程；（2）设直线，为曲线的两条互相垂直切线，切点为 A，交点为点.（i）求点的轨迹方程；（ii）求证：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）解：设，则当时，所以，当 x0 时化简得；当时，由题意得，所以曲线的方程为：或.（2）解：(i)当时，不合题意，故设，则过点 A 的切线为：，同理可得过点的切线为：.根据可得.所以联立两条切线方程可得，所以的轨迹为(ii)由题意可得的直线方程为：，所以必过【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设，则当时，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线 C 的方程。（2）（i）当时，不合题意，故设，则过点 A 的切线的斜截式方程为：，同理可得过点的切线斜截式方程为：，再根据结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得，所以联立两条切线方程可得点交M 的横坐标，进而求出点的轨迹；(ii)由题意可得的直线方程，再结合点斜式求出直线 AB 过的定点坐标。
