1、绝密启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试上海 文科数学试卷考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。 3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。4本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1、已知，且为的共轭复数，若(是虚数单位)，则= 2、在中，已知，则角的大小
2、为 .3、已知两条直线：，：若的一个法向量恰为的一个方向向量，则 4、已知集合，函数的定义域为集合，则= . 5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：成 绩人 数401150602213708090则总体标准差的点估计值是 .（精确到）6、若函数图像与函数的图像关于直线对称，则.7、若，其中都是实数，是虚数单位，则= .8、的二项展开式中，常数项的值是 .AA1BACAC1B1第10题9、已知数列是公差为2的等差数列，则= 10、如图：已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，过顶点作底面的垂线，若垂足为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 .11、5名学生报名参加两项社会实
3、践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为_.（结果用最简分数表示）12、已知点,抛物线的焦点为,准线为，线段交抛物线于点，过作准线的垂线，垂足为，若,则 .13、已知为坐标原点，点，若点为平面区域 内的一个动点，则的最大值与最小值之差为_.14、若函数（）满足，且时，函数，则函数在区间内的零点的个数为_.二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、已知空间三条直线及平面，且、条件甲：；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）A充分
4、非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件16、以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）17、设为坐标平面上三点， 为坐标原点.若与在上的投影相同，则与满足的关系式为（ ）（A） （B） （C） （D）18、16执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） . . . . 三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求；（2）求的值.20、（本题满分14分）第（1）小
5、题满分6分，第（2）小题满分8分.在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.（1）求棱的长；（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为. （1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上的点到两条
6、渐近线的距离分别为，求的值；（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，求的值.23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.文科试卷参考答案及评分标准一 填空题：1 2
7、 33 4. 5 6 7 8 91 10 11 12 13 14二选择题： 15A 16D 17A 18D三解答题:19解：（1）在中，由正弦定理得 将代入上式得，2分解得；4分（2）中，,且为钝角，所以6分8分10分所以12分 20解： （1）设，则-2主视图左视图俯视图 ，解得：-6（2） -10 主视图与俯视图各得2分.21解： （1）2分因为，所以，4分故函数的值域为6分 （2）由得令，因为，所以所以对一切的恒成立8分 当时，；9分 当时，恒成立，即11分因为，当且仅当，即时取等号12分所以的最小值为13分综上，14分22解：（1）设的坐标分别为-1分 因为点在双曲线上，所以，即，所以
8、-2分在中，所以-3分由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为：-4分（2）由条件可知：两条渐近线分别为-5分设双曲线上的点，则点到两条渐近线的距离分别为-7分所以-8分因为在双曲线：上，所以-9分故-10分 （3）解一：因为为圆：上任意一点，设所以切线的方程为：-12分代入双曲线：两边除以，得-13分设，则是上述方程的两个根由韦达定理知：，即-15分所以-16分解二：设，切线的方程为：-12分 当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：所以：-13分又 所以-15分 当时，易知上述结论也成立。所以-16分23解：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且-1分故-3分即。 -4分（2）不妨设有穷数列的项数为因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，所以也是该数列的项，-5分又因为数列是递增数列-6分则-8分故-10分（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列若，则即对数列中的任意一项-12分同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-14分又因为数列所有项之和是，所以，即-18分
