1、广东省深圳市2021年普通高中高一下学期数学调研考试试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知A= 3，4，5，6，B=2xb0c，则下列不等式中成立的是( ) A.a+1bb+1aB.2a+ba+2bab-cD.3caxB.z=xyC.yzxD.zyx12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD= 2 ，AC=AD=BC=BD= 5 ，若用一个与AB，CD都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是( ) A.异面直线AB与CD所成的角为90B.平面截四面体ABCD所得截面周长不变C.平面截四面体ABCD所得截面不可能为
2、正方形D.该四面体的外接球表面积为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.求值： (49)-12 +log48+eln2=_ 14.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为_ 15.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为_ 16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+ 6 )-m2 ， 若x1 -1，3， x20， 2 ，f(x1)g(x2)，则m的取值范围是_ 四、解答
3、题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.己知z，z1 ， z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。 （1）求z； （2）求|(z +i)z2| 18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。 （1）求B； （2）若b=1，ABC的面积为 34 ，求ABC的周长。 19.某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时
4、间(单位：小时)数据分成6组：0，1)，2)， 2，3)，3，4)，4，5)，5，6，(时间均在0，6内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5 （1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率。 20.如图，在ABC中， AD=25AB ，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设 CB = a ， CA = b 。 （1）用 a ， b 表示 EF ， CD ； （2）如果ACB=60，AC=2，且CDEF，求
5、| CD |。 21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6 2 ，点E为线段AB上一点，AE=1，现将BCE沿CE折起，将点B折到点B位置，使得点B在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B-AECD （1）在图2中，线段BC上是否存在点F，使得EF平面BAD？若存在，求 BFBC 的值，若不存在，请说明理由； （2）在图2中求二面角B-EC-D的大小。 22.已知函数f(x)=|ex-1| （1）试判断函数f(x)的单调性，并画出函数f(x)图象的草图； （2）若关于x的方程2f2(x)-4mf(x)+5m-2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 答案解析
6、部分一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知A= 3，4，5，6，B=2x6，则AB=( ) A.2，3，4B.3，4，5C.2，3，4，5D.3，4，5，6【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：根据交集的定义得 AB=3,4,5， 故答案为：B 【分析】根据交集的定义求解即可.2.复数z的共轭复数是1+ 3 i(其中i为虚数单位)，则z的虛部是( ) A.3 iB.3C.- 3 iD.- 3【答案】 D 【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】解：由题意得z=1-3i ， 故 z的虛部是-3. 故答案
7、为：D 【分析】根据复数的概念求解即可.3.已知向量 a =(-3，1)， b=(1，-2)，则向量a与b夹角的大小为( ) A.30B.45C.60D.135【答案】 D 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】解：由题意得cos=abab=-31+1-2-32+1212+-22=-22, 又0,180 =135 故答案为：D 【分析】根据向量的夹角公式，结合向量的数量积与向量的求模公式直接求解即可.4.己知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为( ) A.12.4B.12.3C.12.2D.12.1【答案】 A 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【
8、解析】【解答】解：由题意得平均值=1+2+5+6+115=5 ， 则方差=1-52+2-52+5-52+6-52+11-525=12.4 故答案为：A 【分析】根据平均值及方差的定义直接求解即可.5.己知sin2=cos( 2 +)，( 2 ，)，则tan的值为（ ） A.- 3B.-1C.-33D.-2【答案】 A 【考点】二倍角的正弦公式，任意角三角函数的定义，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：由 sin2=cos(2+)得2sincos=-sin， (2 ， ) sin0 2cos=-1 cos=-12=23tan23=-3 故答案为：A【分析】根据二倍角公式，诱导公式，以及三角
9、函数的定义求解即可.6.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的( ) A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍【答案】 C 【考点】有理数指数幂的运算性质 【解析】【解答】解：由题意得(1+6.25%)30=6，则(1+6.25%)60=(1+6.25%)302=62=36 故答案为：C 【分析】根据指数运算法则求解即可.7.已知函数f(x)=sinx+ 3 cosx，则“x0= 6 是“f(x)在x=x0处取得最大值”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
10、D.既不充分也不必要条件【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，三角函数的最值 【解析】【解答】解：由题意得fx=sinx+3cosx=2sinx+3 当x0=6时，x0+3=2 ， 此时fx取得最大值2，故充分性成立； 当fx取得最大值2时， x+3=2+2k ， 则 x=6+2k，kZ ， 故必要性不成立； 故答案为：A 【分析】根据充分必要条件的判断，结合三角函数的性质求解即可.8.己知实数a，b，c满足ab0c，则下列不等式中成立的是( ) A.a+1bb+1aB.2a+ba+2bab-cD.3cab0c 1b1a ， a+1bb+1a ， 故A不成立； 对于B， a
11、b0c 02a+b3b001a+2b13b 2a+ba+2b3a3b=ab 故B成立； 对于C，c0 又 ab0 a-cb-c0 01a-c1b-c ba-cb0 1a1b 又ccb 3ca3cb 故D不成立.【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况，则下列说法正确的是（ ） A.年均增长率逐次
12、减小B.第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C.这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D.第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】 B,D 【考点】频率分布折线图、密度曲线，极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：对于A选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A错; 对于B选项，极差为2 .09%-0.53%=1.56%，故B对; 对于C选项，第七次增幅最小，故C错; 对于D选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故D对. 故答案为：BD. 【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量,增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为
13、负的时候，总人口才减少；看图排除错误选项即可.10.把函数f(x)= cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的 12 倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列说法正确的是( ) A.函数g(x)的最小正周期为B.直线x=是函数g(x)图象的对称轴C.函数8(x)在区间- 12 ， 32 上的最小值为-1D.点( 4 ， 12 ，0)为函数g(x)的图象的一个对称中心【答案】 A,C,D 【考点】函数的图象与图象变化，余弦函数的图象，余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的零点与最值 【解析】【解答】解：把函数f(x) = cos x的图象向左平移1个单位长度得到y=cos(x+
14、1)的图象，再把所得图象横坐标变为原来的12得到函数y= cos(2x + 1)的图象，即g(x) = cos(2x+1). 对于A，函数g(x )的最小正周期为T=22= ， 故A正确； 对于B，令2x+1=k，kZ，得x=-12+k2 ， kZ，即函数g(x)图象的对称轴为x=-12+k2 ， kZ，故B错误； 对于C，当x-12,32时，2x+10,4，当2x+1=，即x=-12时，g(x) = cos(2x+1)取得最小值-1，故C正确； 对于D，g4-12=cos24-12+1=cos2=0 ， 所以4-12，0是函数g(x) = cos(2x+1)的一个对称中心，故D正确. 故答案
15、为：ACD. 【分析】根据图象的平移变换，结合余弦函数的图象与性质求解即可.11.已知实数x，y，z满足2x=log2y= 1z ，则下列关系式中可能成立的是( ) A.y=zxB.z=xyC.yzxD.zyx【答案】 A,C,D 【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象，幂函数的性质 【解析】【解答】解：实数x, y,z满足2x=log2y=1z ， 作出函数y=2x, y= log2x, y=1x的图象, 并作出与x轴平行且与三个函数图象相交的直线，如图所示： 由最上面的直线与函数图象交点可得:yxz, 由第二条直线与函数图象交点可得:yx=z, 由最中间的直线与函
16、数图象交点可得:yzx, 由第四条直线与函数图象交点可得:y=zx, 由第五条直线与函数图象交点可得:zyX. 综上所述，故选ACD. 【分析】根据指数函数，对数函数，反比例函数的图象与性质，运用数形结合的思想求解即可.12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD= 2 ，AC=AD=BC=BD= 5 ，若用一个与AB，CD都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是( ) A.异面直线AB与CD所成的角为90B.平面截四面体ABCD所得截面周长不变C.平面截四面体ABCD所得截面不可能为正方形D.该四面体的外接球表面积为6【答案】 A,B,D 【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线
17、与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】A取CD中点M，ABC为等腰三角形，那么CDAM， 同理，CDBM，且AMBM=M，那么CD平面ABM，而AB 平面ABM，所以CDAB，A正确；B如图，设平面a与四面体ABCD的各棱的交点分别为E，F，G，H ，由AB平面a，且AB 平面ABD，两个平面的交线为HG，则ABHG，同理，FGCD，HGAB=HDBD , HECD=BHBD +得：HG+HE= 2 ，周长为2 2 ，B正确；C E，F，G，H为棱中点时，截面为正方形，C错误；D如图，四面体的外接球为正方体的外接球，r= 62 ，故S=6，D正确 故答案为：ABD.【分析】根
18、据直线与平面垂直的判定定理与性质定理，结合异面直线所成角的定义可判断A； 根据直线与平面平行的判定定理与性质定理，结合平行直线的性质定理可判断B； 根据四面体的几何特征，结合直线与平面平行的性质定理可判断C； 根据四面体与正方体的几何特征，结合外接球的几何特征可判断D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.求值： (49)-12 +log48+eln2=_ 【答案】 5 【考点】有理数指数幂的运算性质，有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 【解析】【解答】解：原式=232-12+log2223+2=32+32+2=5 故答案为：5 【分析】根据指数式，对数式的运算法则，以及对
19、数恒等式求解即可14.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为_ 【答案】 0.994 【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】解：由题意得，甲乙丙三人都不中靶的概率为(1-0.8)(1-0.9)(1-0.7)=0.006， 则甲乙丙三人中至少有一人中靶的概率为P=1-0.006=0.994 故答案为：0.994 【分析】根据独立事件与对立事件的概率求法直接求解即可15.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面B
20、CD1所成角的大小为_ 【答案】6【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：连接BD，DC1, 设直线DC1与D1C相交于点0,连接OB, 由正方体性质易知，BC平面DCC1D1 ， 由于DC平面DCC1D1 ， 所以DC1BC, 又DC1D1C, D1CBC= C， 所以DC1平面BCD1 ， 则DBO即直线DB与平面BCD1所成角, 又正方体边长为2，所以BD= 22 ， DO=2 ， sinDBO=DOBD=12 ， 则DBO=30, 即直线DB与平面BCD1所成角的大小为6, 因为E、F分别为AD、AB的中点， 所以EF/DB， 所以直
21、线EF与平面BCD1所成角的大小为6. 故答案为：6【分析】根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理，结合直线与平面所成角的定义直接求解即可.16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+ 6 )-m2 ， 若x1 -1，3， x20， 2 ，f(x1)g(x2)，则m的取值范围是_ 【答案】 (-，-1- 3 U-1+ 3 ，+) 【考点】函数恒成立问题，对数函数的值域与最值，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】解：记f(x)在区间-1，3上的最小值为f(x)min ， g(x)在区间0， 2 的最大值为()max ， 由题意可知f(x)ming(x)max由
22、 x12 +11，10，可得(f(x)min=0，由2x2+ 6 ( 6 , 76 )可得sin(2x2+ 6 )- 12 ,1由g(x)max0，得 -124(m-1)-m204(m-1)-m20 解之，得x-1- 3 或x-1+ 3 ，所以，m的取值范围是(-，-1- 3 U-1+ 3 ，+)【分析】根据化归思想，将不等式 f(x1)g(x2) 恒成立问题，等价转化为f(x)ming(x)max ， 再结合对数函数的值域以及y=Asinx+的值域性质求解即可四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.己知z，z1 ， z2均为复数，在复平面内，z1对应
23、的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。 （1）求z； （2）求|(z +i)z2| 【答案】 （1）由题意知z1=3+4i， 解zz1=-1+7i，得z= -1+7i3+4i所以z= (-1+7i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25+25i25 =1+i（2）由题意知z2=i， 则(z+i)z2=(1+ 2i)i=-2+i所以 |(z+i)z2| =|2+i|= 5 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合复数的运算法则求解即可； （2）根据复数的运
24、算法则，结合复数的模求解即可.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。 （1）求B； （2）若b=1，ABC的面积为 34 ，求ABC的周长。 【答案】 （1）将(sinA -sinC)2 =sin2 B - sin AsinC展开得 sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC，由正弦定理得a2+c2-b2=ac ，由余弦定理得cosB= a2+c2-b22ac=12因为0B，所以B= 3（2）根据余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac 因为ABC的面积为 12 acsinB= 34 ,
25、所以ac=1因为b=1，所以1=(a+c)2-3， 解之，得a+c=2 ABC的周长为a+c+b = 3【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理直接求解即可； （2）根据余弦定理与三角形的面积及周长公式求解即可.19.某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：0，1)，2)， 2，3)，3，4)，4，5)，5，6，(时间均在0，6内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5 （1）求m，n的值，并估计这
26、100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率。 【答案】 （1）由于0.05+0.15+m+n+0.11+0.04=1，则m+n=0.65； 且0.05 +0.15+m+(3.5-3) n=0.7，则m+0.5n=0.5，于是 m=0.35n=0.3那么平均值为0.05 12 +0.15 32 +0.35 52 +0.3 72 +0.11 92 +0.04 112 =2.89；（2）由于第二组和第四组的频率之比为： 0.150.3=12那么分层抽样抽取
27、的6个人中，来自第二组共有2个人，设为A，A，第四组共有4个人，设为B1 ， B2 ， B3 ， B4则从6个人中任选2人的基本事件有A1A2 ， A1B1 ， A1B2 ， A1B3 ， A1B4 ， A2B1 ， A2B2 ， A2B3 ， A2B4 ， B1B2 ， B1B3 ， B1B4 ， B2B3 ， B2B4 ， B3B4共15个，其中2人来自不同组的事件有A1B1 ， A1B2 ， A1B3 ， A1B4 ， A2B1 ， A2B2 ， A2B3 ， A2B4 ， 共8个，故所求概率为P= 815【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（
28、1）根据直方图的性质与百分位数的定义直接求解即可； （2）根据分层抽样，结合列举法求古典概型直接求解即可.20.如图，在ABC中， AD=25AB ，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设 CB = a ， CA = b 。 （1）用 a ， b 表示 EF ， CD ； （2）如果ACB=60，AC=2，且CDEF，求| CD |。 【答案】 （1）EF=EC+CF=-12CA+13CB=13a-12bCD=CA+AD=CA+25AB=35CA+25CB=25a+35b（2）由(1)可知， CDEF=(25a+35b)(13a-12b)=0所以 215a2-310b2=0由|
29、a |=2，可得| b |=3，|CD|=CD2=(35a+25b）2 = 925a2+1225ab+425b2 = 3625+12252312+3625 = 635【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）根据向量垂直的充要条件，结合向量的求模公式求解即可.21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6 2 ，点E为线段AB上一点，AE=1，现将BCE沿CE折起，将点B折到点B位置，使得点B在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B-AECD （1）在图2中，线段BC上
30、是否存在点F，使得EF平面BAD？若存在，求 BFBC 的值，若不存在，请说明理由； （2）在图2中求二面角B-EC-D的大小。 【答案】 （1）在边BC上取点F，使得 BFBC=14过F作CD的平行线交BD于M点，连接EF，AMMFCD且 MFCD=BFBC=14又AECD且 AECD=14AEMF且AE=MF， 故四边形AEFM为平行四边形，EFAM，又EF 平面BAD，AM 平面BAD，EF平面BAD；（2）如图，记点B在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接BN， CEON，CEBO，ONBO=O，CE平面BON，CEBN，则BNO为二面角B-CE-D的平面角在矩形AB
31、CD中，如图，BE=3，BC=6 2 ，CE=9，BN=2 3 ，EN=1，又EBNOBA， BNBE=BABOBO=3 2 ，ON= 2则cosBNO= ONBN=12二面角B-EC-D的大小为60【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）根据平行的传递性，结合直线与平面平行的判定定理即可得证； （2）根据二面角的定义，结合几何法求解即可.22.已知函数f(x)=|ex-1| （1）试判断函数f(x)的单调性，并画出函数f(x)图象的草图； （2）若关于x的方程2f2(x)-4mf(x)+5m-2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 【答案】 （1）f(
32、x)=|ex-1|= 1-ex,x0ex-1,x0当x(-，0)时，函数f(x)为单调减函数，值域为(0，1)；当x0，+)时，函数f(x)为单调增函数，值域为0，+) 画出函数f(x)的草图如图所示：（2）关于的方程2f2(x)-4mf(x)+5m-2= 0有两个不等实数根 设t=f(x)0，+)，结合图象可知，一元二次方程2t2-4mt+5m-2=0有两个不相等的实数根t1 ， t2 ， 满足下列情况时符合题意当0t11，t20时，则有 5m-20 解之，得0m25当t1=0，t21时，则由t1=0得m= 25 ，代入方程得t1= 450m1 ，得m2，综上所述，m的范围是(0， 25 ) 12 U(2，+)【考点】二次函数在闭区间上的最值，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数的图象与性质 【解析】【分析】（1）根据指数函数的性质，结合分段函数的概念求解即可； （2）利用换元法，根据二次函数的性质，运用分类讨论思想求解即可.
