1、第10讲抛物线(二)直线与抛物线的位置关系已知直线l：ykxm，抛物线y22px(p0)，联立得k2x22(mkp)xm20.(1)直线l与抛物线相切：k0，0；(2)直线l与抛物线相交：k0，0或k0；(3)直线l与抛物线相离：k0，0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|x1，|BF|x2，弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)为定值；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称
2、轴垂直的弦长等于2p.1(2022广州天河区高三综合测试)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条答案C解析设过点(0,1)，斜率为k的直线方程为ykx1.由得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个根；当k0时，(2k4)24k216k16，由0，即16k160得k1.所以k0或k1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x0和抛物线只有一个公共点，故选C.2(2021济南模拟)若抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A2
3、 B3 C4 D6答案B解析因为抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为2，所以p2，抛物线方程为y24x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|x1x2p，所以8x1x22，则x1x26，所以弦AB的中点到y轴的距离为d3.故选B.3(多选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点(A在第一象限)，交抛物线C的准线于点D，若，|AF|4，则下列结论正确的是()Ap2B直线l的倾斜角为C|BF|2D以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切答案ABD解析过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1
4、.由抛物线定义知|AA1|AF|AD|，所以在RtA1AD中，知A1AD，故直线l的倾斜角为，|AF|2p4，p2，|BF|，因此A，B正确，C错误；过AB的中点E作准线的垂线EE1(E1为垂足)，由梯形的中位线可知|EE1|，所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以D正确故选ABD.4已知直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为_.答案0或1解析直线ykx2中，当k0时，y2，此时直线ykx2与抛物线y28x有且仅有一个公共点；当k0时，把ykx2代入抛物线y28x，得(kx2)28x，整理，得k2x2(4k8)x40，直线ykx2与抛物线y28x有且仅有一个公共点，
5、(4k8)216k20，解得k1.故k的值为0或1.5过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.答案解析解法一：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|3，由抛物线的定义知，点A到准线x1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x2代入y24x，得y28，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y2(x1)由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|(1).解法二：如图，不妨设点A在第一象限，设AFx，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA123cos3，解得cos.又|BF|xB11
6、|BF|cos12|BF|，所以|BF|.6(2020新高考卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案解析抛物线的方程为y24x，抛物线的焦点为F(1,0)，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为y(x1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x210x30，解法一：解得x1，x23，|AB|x1x2|3|.解法二：10036640，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，过A，B分别作准线x1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示，|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x22.考向一抛物线的切线例1(1)过抛物线x24y上一点(4,
7、4)的抛物线的切线方程为_.答案y2x4解析解法一：设切线方程为y4k(x4)由x24(kx4k4)x24kx16(k1)0，由(4k)2416(k1)0，得k24k40.k2.故切线方程为y42(x4)，即y2x4.解法二：由x24y得y，y.y|x42.切线方程为y42(x4)，即y2x4.(2)设抛物线x22py(p0), M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则下列关系：xAxB2xM；xAxBx；.其中正确的是_(填序号)答案解析由x22py得y，所以y，所以直线MA的方程为y2p(xxM)，直线MB的方程为y2p
8、(xxM)，所以2p(xAxM)，(*)2p(xBxM)，(*)由(*)(*)可得xAxB2xM，故正确(3)已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，则实数a的值为_.答案0或1或解析联立方程当a0时，此方程组恰有一组解当a0时，消去x，得y2y10.a若a1，方程组恰有一组解b若a1，令0，得10，解得a，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述，a0或a1或a. (1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切(2)在讨论时应考虑全面，不要忽略二次项的系数为零的情况1.已知抛物线C：y22px(p0)，过点M作C的切线，则切线的斜率为_.答案1解析设切线斜率
9、为k，则切线方程为yk，代入y22px中得k2x2p(k22)x0.由0，即p2(k22)24k20，解得k21，所以k1.2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_.答案解析A(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线AB的方程为xk(y3)2，将与y28x联立，即得y28ky24k160，则(8k)24(24k16)0，即2k23k20，解得k2或k(舍去)，将k2代入，解得即B(8,8)，又F(2,0)，kBF.3(2022四川名校联考)过抛物线C：x24y的焦点F的直线l交
10、C于A，B两点，点A处的切线与x，y轴分别交于M，N两点若MON的面积为，则|AF|_.答案2解析由题可知，直线l的斜率存在，且过抛物线C：x24y的焦点F，与其交于A，B两点，设A.又yx2，所以y，所以点A处的切线方程为ya2(xa)令x0，可得ya2，即N；令y0，可得x，即M.因为MON的面积为，所以|a2|，解得a24，所以|AF|a212.考向二焦点弦问题例2(1)如图，已知线段AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的一条弦，过点A(A在第一象限内)作直线AC垂直于抛物线的准线，垂足为C，直线AT与抛物线相切于点A，交x轴于点T，给出下列命题：AFx2TAF；|TF|AF|；AT
11、CF.其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案D解析根据抛物线的定义可知|AF|AC|，由于AC垂直于抛物线的准线，所以ACx轴，所以AFxCAF.设A，则C，F，设D是CF的中点，则D.所以直线AD的方程为y(x0)，即yx.由消去y并化简，得x2px0，其判别式p240，所以直线AD与抛物线相切，故直线AD与直线AT重合由于D是CF的中点，所以ADCF，也即ATCF，正确；根据等腰三角形的性质可知CAF2TAF，所以AFx2TAF，正确；由于ACx轴，所以CATFTA，所以FTATAF，所以|TF|AF|，正确综上所述，正确命题的个数为3.故选D.(2)(2021贵州模拟)已知抛
12、物线y22px(p0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A，B，若四边形AABB的面积为32，则该抛物线的方程为()Ay22x By24xCy24x Dy28x答案C解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为x，过点F倾斜角为45的直线的斜率为ktan451，则直线AB的方程为yx，与抛物线方程联立得x23px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则x1x23p，x1x2，y1y2x1x22p，因为四边形AABB的面积为32，所以(y1y2)4p232，解得p2，所以抛物线方程为y24x.故选C.(1)解决焦点
13、弦问题时，要注意以下几点：设抛物线y22px(p0)上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线y22px(p0)上，故满足y2px1，y2px2；利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解4.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B C D答案D解析易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
14、则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin30，所以OAB的面积S|AB|d.5. 过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则的值为()A2 B3 C D答案B解析解法一：由题意知抛物线的焦点坐标为，所以直线l的方程为y，代入抛物线方程y22px(p0)，整理得3x25px0，解得x1，x2，由题意可知点A在第一象限，点B在第四象限，所以A，B两点的坐标分别为，则有|AF|2p，|BF|，所以3.故选B.解法二：由抛物线的定义得p|AF|AF|，可得|AF|2p，p|BF|BF|，可得
15、|BF|p，所以3，故选B.6已知直线l：xym0经过抛物线C：y22px(p0)的焦点，l与C交于A，B两点若|AB|6，则p的值为()A. B C1 D2答案B解析直线l经过抛物线的焦点F.将点F的坐标代入直线方程，得m.由得x23px0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，故|AB|x1x2p4p6，所以p.故选B.7.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若点F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A5 B6C. D答案C解析如图，设准线l与x轴交于点M，过点A作准线l的垂线AD，交l于点D.由抛物线的定义知|A
16、D|AF|4.因为点F是线段AC的中点，所以|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2.所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，所以A(3,2)又F(1,0)，所以kAF.所以直线AF的方程为y(x1)，将此方程与抛物线方程y24x联立后消去y并整理，得3x210x30.所以x1x2，所以|AB|x1x2p2.故选C.考向三直线与抛物线的位置关系例3(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt
17、，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2，即A(3,3)，B.故|AB|. 求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长
18、问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式8.(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y
19、tx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4. 解析几何中的“设而不求”与“设而要求”思想1(2021云南昆明摸底)已知动点M(x，y)满足： 2.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设过点N(1,0)的直线l与曲线E交于
20、A，B两点，点A关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)证明直线BC恒过定点，并求该定点的坐标解(1)由题知，动点M到点(1,0)，(1,0)的距离之和为2，且2b0)的右焦点是(，0)，且经过点，M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)(1)求椭圆C的方程；(2)若|AM|2|MB|，且直线l与圆O：x2y2相切于点N，求|MN|.解(1)由题意知整理得4a419a2120，又a23b23，故a24，所以b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(m,0)，直线l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)由|AM|2|MB|，得y12y2.由消去x得(
21、t24)y22mtym240，由根与系数的关系得y1y2，y1y2.由得代入，得22，化简得(m24)(t24)8t2m2.原点O到直线l的距离d，又直线l与圆O：x2y2相切，所以，即t2m21.由消去t得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此时t2，经检验满足题意，所以M，d2，所以在RtOMN中，|MN|.答题启示解析几何的综合问题，常常涉及到直线与曲线相交，当两个交点坐标未知时，用“设而不求”避免求交点，从而简化计算常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等而当其中一个交点坐标是已知的或除根与系数的关系外，还有坐
22、标等量关系，则常用到“设而要求”对点训练1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2.A，B是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且PF1F2的周长为6，若PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上解(1)由题意得a2，b，c1，椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)得A(2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为xmy1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(43m2)y26my90，y1y2，y1y2，my1y2(y1y2)，直线AM的方程为y(x2)
23、，直线BN的方程为y(x2)，令(x2)(x2)，3，x4，直线AM与BN的交点在直线x4上2(2020北京高考)已知椭圆C：1过点A(2，1)，且a2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q，求的值解(1)设椭圆方程为1(ab0)，由题意可得解得故椭圆方程为1.(2)显然直线l的斜率存在设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为yk(x4)，与椭圆方程1联立可得x24k2(x4)28，即(4k21)x232k2x(64k28)0，则x1x2，x1x2.直线MA的方程为y1(x2)，令x4，得yP212，同理可
24、得yQ.显然|，注意到yPyQ(2k1)(2k1)，而(x14)(x22)(x24)(x12)2x1x23(x1x2)8220，故yPyQ0，yPyQ.从而|1.一、单项选择题1过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点如果x1x26，那么|AB|()A6 B8 C9 D10答案B解析|AB|AF|BF|x1x2p8. 故选B.2设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心答案B解析设圆心为M，过点A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，
25、M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切3已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定是()A4 B4 Cp2 Dp2答案A解析若焦点弦ABx轴，则 x1x2，则x1x2，y1y2p2，则4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：yk，与y22px联立，得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.y2px1，y2px2，yy4p2x1x2p4.又y1y20)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于
26、第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B C D答案D解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.所以p，故选D.9(2021湖南长郡中学模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，过点F的直线交C于A，B两点，OAB的重心为点G(O为坐标原点)，则点G到直线3x3y10的距离的最小值为()A2 B C D2答案C解析由题意，得抛物线的方程为y28x，设直线AB的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联
27、立直线与抛物线的方程得y28my160且64(m21)0，则y1y28m，x1x2m(y1y2)48m24，又OAB的重心为点G，即G，G，则G到直线3x3y10的距离d，当m时，dmin.故选C.10(2021新高考八省联考)已知抛物线y22px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x2)2y21的两条切线，则直线BC的方程为()Ax2y10 B3x6y40C2x6y30 Dx3y20答案B解析因为点A(2,2)在抛物线y22px上，故222p2，即p1，所以抛物线的方程为y22x.易知直线AB，AC的斜率都存在，设过点A(2,2)与圆(x2)2y21相切的直线的方程为y2k(x2
28、)，即kxy22k0，则圆心(2,0)到切线的距离d1，解得k.如图，直线AB：y2(x2)，直线AC：y2(x2)联立得3x2(414)x1680，故xAxB，由xA2得xB，故yB.联立得3x2(414)x1680，故xAxC，由xA2得xC，故yC，故yByC4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率kBC，故直线BC的方程为y，即3x6y40.故选B.二、多项选择题11(2021潍坊二模)已知抛物线x2y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为B若直线MN过点F，则x1x2C若，则|MN|的最小值为D若|MF|NF|，则线段M
29、N的中点P到x轴的距离为 答案BCD解析易知点F的坐标为，A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2p2，B正确；若，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，C正确；抛物线x2y的准线方程为y，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP，垂足分别为M，N，P，所以|MM|MF|，|NN|NF|.所以|MM|NN|MF|NF|，所以|PP|，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP|，D正确故选BCD.12已知抛物线C：y22px过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C过点
30、P与抛物线相切的直线方程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值答案BCD解析因为抛物线C：y22px过点P(1,1)，所以p，所以抛物线方程为y2x，焦点坐标为F.对于A，|PF|1，错误；对于B，kPF，所以lPF：y，与y2x联立得4y23y10，所以y1y2，y1y2，所以SOPQ|OF|y1y2|，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，14k(1k)0，即4k24k10，解得k，所以切线方程为x2y10，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k
31、0，所以yM1，即yM1，则xM2，所以点M，同理N，所以kMN，正确故选BCD.三、填空题13过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为_.答案yx3或y3或x0解析当直线l的斜率k存在且k0时，由相切知直线l的方程为yx3；当k0时，直线l的方程为y3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x0.综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3或y3或x0.14(2021上海高考)已知椭圆x21(0b1)的左、右焦点为F1，F2，以O为顶点，F
32、2为焦点作抛物线交椭圆于P，且PF1F245，则抛物线的准线方程是_.答案x1解析设F1(c,0)，F2(c,0)，则抛物线y24cx，直线PF1：yxc.联立方程组解得xc，y2c，所以点P的坐标为(c,2c)，所以PF2F1F2，又|PF2|F2F1|2c，所以|PF1|2c，所以|PF1|PF2|(22)c2a2，则c1，所以抛物线的准线方程为xc1.15过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点(其中M点在第一象限)，若3，则直线l的斜率为_.答案2解析解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中y10，y20)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，
33、当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(2，y0)，使得MAMB，求直线l的方程解(1)抛物线C：x22py(p0)的准线方程为y，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|2，12，解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)点M(2，y0)在抛物线C上，y01.又F(0,1)，设直线l的方程为ykx1.由得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，(x12，y11)，(x22，y21)MAMB，0，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20.解得k2或k0.当k0时，l过点M(舍去)，k2，
34、直线l的方程为y2x1.18设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以ABMABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y
35、1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，ABMABN.综上，ABMABN.19(2021全国乙卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p2，所以C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，(1x2，y2)，因为9，所以可得又点P在抛物线C上，所以y4x1，即(10y2)24(10x29)，化简得y
36、x2，则点Q的轨迹方程为y2x.设直线OQ的方程为ykx，易知当直线OQ与曲线y2x相切时，斜率可以取最大，联立ykx与y2x并化简，得k2x2x0，令24k20，解得k，所以直线OQ斜率的最大值为.20(2021武汉4月模拟)设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线E于A，B两点，当l与x轴垂直时，AOB的面积为8，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的标准方程；(2)若l的斜率存在且为k1，点P(3,0)，直线AP与E的另一交点为C，直线BP与E的另一交点为D，设直线CD的斜率为k2，证明：为定值解(1)由题意不妨设点A在第一象限，则当l与x轴垂直时，A，B，|AB|2p，2p8，得p4，故抛物线E的标准方程为y28x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则k1，k2，直线AB的方程为yy1(xx1)，即(y1y2)yy1y28x.又点F(2,0)在直线AB上，y1y216.设直线BD的方程为xty3.由得y28ty240，y2y424，同理可得y1y324.又k1，k2，为定值
