1、专题检测（二十三） 导数与函数的零点问题大题专攻强化练1(2019济南市模拟考试)已知函数f(x)(x1)2xln x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1ae，试判断f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，若a1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数若 0a1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数若a1，则00，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数；当0a1时，f(x)在上是增函数，在
2、上是减函数，在(1，)上是增函数(2)当1ae时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)10，所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)g(e)294ln 4ln 40，所以存在x0(1，4)，使f(x0)0，所以当1a0)，f(1)a10，解得a1，当a1时，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x1，即m2，当0x1时，f(x)x(1ln x)0且x0时，f(x)0；当x时，显然f(x).如图，由图象可知，m10，即m1，由可得2m1.故实数m的取值范围为(2，1)3(2019南昌市第一
3、次模拟测试)已知函数f(x)ex(ln xaxab)(e为自然对数的底数)，a，bR，直线yx是曲线yf(x)在x1处的切线(1)求a，b的值(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)ex，f(x)的定义域为(0，)由已知，得即解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，则f(x)ex，令g(x)ln xx，则g(x)0，g(2)ln 210，即f(x)0，当x(x0，)时，g(x)0，即f(x)0.所以f(x)在(0, x0)上单调递增，在(x0)上单调递减又当x0时，f(x)0，f(2)e20，f(e)ee0，
4、所以存在k0或2，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零点4(2019福州市质量检测)已知函数f(x)aln xx(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当ea2时，关于x的方程f(ax)有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1x20，即a1时，在(0，1a)上，f(x)0，在(1a，)上，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1a)，单调递减区间是(1a，)；当1a0，即a1时，在(0，)上，f(x)0)，当0x0，函数g(x)在区间(0，1)上单调递增；当x1时，g(x)0，函数g(x)在区间(1，)上单调递减所以g(x)在x1处取得最大值因为当ea2时，方程f(ax)有两个不同的实数解x1，x2，所以函数g(x)有两个不同的零点x1，x2，一个零点比1小，一个零点比1大不妨设0x111)，设h(t)(t1)，则h(t)0.所以函数h(t)在区间(1，)上单调递增，h(t)e，所以.因为ea，则，又x1x21，所以x1x24x1x2.
