1、2.3.2离散型随机变量的方差QA，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？X1随机变量的方差、标准差的定义：设离散型随机变量的分布列如下表.Xx1x2xixnPp1p2pipn则_(xiE(X)2_描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的_平均偏离程度_.我们称D(X)为随
2、机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的_标准差_2离散型随机变量与样本相比较，随机变量的_数学期望_的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的_概率_相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重3随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于_均值_的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度_越小_4方差的性质若a、b为常数，则D(aXb)_a2D(X)_设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn由YaXb(a，b为常数)知Y也是离散型随机变量Y的分布列为Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pi
3、pn由数学期望的线性性质得E(Y)aE(X)b，于是D(aXb)D(Y)(axibE(Y)2pi(axibaE(X)b)2pi(axiaE(X)2pi_a2(xiE(X)2pi_a2D(X)_5若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)_p(1p)_设随机变量XB(1，p)，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E(X)p，于是D(X)(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)(p1p)p(1p)6若XB(n，p)，则D(X)_np(1p)_Y1甲、乙两个运动员射击命中环数、的分布列如下表其中射击比较稳定的运动员是(B)环数k8910P(k)0.30.20.5P(k)0.20.40.4A甲B乙C
4、一样D无法比较解析E()9.2，E()9.2E()，D()0.76，D()0.56D()，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势规律总结1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析2求分布列时的关注点要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质
5、简化概率跟踪练习3为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解析(1)解：由题图知，在服药的50名患者中，指标y的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选
6、出一人，此人指标y的值小于60的概率为0.3(2)解：由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C所以的所有可能取值为0,1,2P(0)，P(1)，P(2)所以的分布列为012P故的期望E()0121(3)解：在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差X用公式法求离散型随机变量的方差若能判断出离散型随机变量服从常见的分布，则常用公式法求离散型随机变量的方差注意以下三种分布在解题中的应用：当X服从两点分布，即XB(1，p)时，D(X)p(1p)；当X服从二项分布，即XB(n，p)时，D(X)np(1p)；当X服从超几何分布，即XH(N，M，n
7、)时，D(X)(1)典例4(1)若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数，则方差D()的最大值为_(2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为，则D()等于_0.196_解析(1)随机变量的所有可能取值为0,1，并且有P(1)p，P(0)1p，从而B(1，p)，故D()p(1p)pp2(p2p)(p)2，0p1，当p时，D()取得最大值，最大值为.故填(2)因为随机变量B(10,0.02)，所以D()100.020.980.196.故填0.196跟踪练习4在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙
8、两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)如图所示的是测量数据的茎叶图.甲地乙地80346812478890245620012规定：当产品中的此种元素含量15毫克时为优质品(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数的分布列及方差D()解析(1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为(2)的所有可能值为1,2,3，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列为：123P所以的方差D()(1)Y要准确理解随机变量取值
9、的含义典例5某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差错解5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为，故试开次数XB(5，)，由二项分布均值与方差的定义知E(X)51，D(X)5(1)辨析首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了其次Xk的含义是前k1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门正解设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5Xk表示前k1次没打开此门，第k次才打开了此门P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4
10、)，P(X5)1，故随机变量X的概率分布列为：X12345PE(X)123453D(X)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(2212021222)2点评(1)弄不清随机变量X取值的含义是本题解题的易错点，Xk表示前k1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P(Xk)(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思考，把5把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k个位置的概率为P(Xk)(k1,2,3,4,5)K1已知随机变量X的分布列为X012P设Y2X3，则D(Y)(A)ABCD解析E(X)0121，D(X)(01)2(11)2(21)2，D(Y)D(2X
11、3)4D(X)2一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为(C)ABCD解析由题意，次品件数X服从二项分布，即XB(4，)，故D(X)np(1p)43已知B(n，p)，且E(32)9.2，D(32)12.96，则二项分布的参数n，p的值为(B)An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3Dn24，p0.1解析由E(32)3E()2，D(32)9D()，设B(n，p)时，E()np，D()np(1p)可知所以故选B4袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和
12、，则X的方差为_解析X的分布列为X135P则E(X)135D(X)5在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为，求的分布列及数学期望、方差解析(1)设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，依题意P(Ai)P(Bi)，i1,2,3，则甲、乙两人选做同一题的事件为A1B1A2B2A3B3，且A1与B1，A2与B2，A3与B3相互独立，P(A1B1A2B2A3B3)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)()3(2)可能取值为0,1,2,3,4,5.且5名考生选做这三题中的任意一题的可能性均为，P(k)C()k()5kC，k0,1,2,3,4,5，的分布列为：012345PE()np5D()np(1p)5(1)
