1、31.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 问题某同学计划买x(x1，2，3，4，5)支2B铅笔每支铅笔的价格为0.5元，共需y元于是y与x间建立起了一个函数关系(1)该函数的定义域是什么？提示：1，2，3，4，5(2)y与x有何关系？提示：y0.5x，x1，2，3，4，5(3)试用表格表示y与x之间的关系提示：(4)试用图象表示y与x之间的关系提示：铅笔数x/支12345钱数y/元0.511.522.5【概念生成】1列表法通过列出_与_的表来表示函数关系的方法叫做列表法2图象法用_表示函数的方法叫做图象法3解析法(公式法)如果在函数yf(x)(xA)中，f(x)是用_来表达的，则这种表示
2、函数的方法叫做解析法(也称为公式法).自变量对应函数值“图形”代数式(或解析式)核心互动探究探究点一 待定系数法求函数解析式 【典例1】已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x).【思维导引】设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，列式求解【解析】设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，因为f(0)1，所以c1，则f(x)ax2bx1.又因为f(x1)f(x)2x对任意xR成立，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.由恒等式性质，得2a2，ab0，所以a1，b1.所以所求二次函数为f(x)x2x1.【类题通法】待定
3、系数法的适用条件及步骤(1)适用条件：函数的类型已知(2)一般步骤：设出解析式；依据条件列出方程(组)；解方程(组)写出解析式提醒：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式【定向训练】1设二次函数f(x)满足：对任意xR，都有f(x1)f(x)2x22x3，求f(x)的解析式【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x)2ax2(2a2b)xab2c2x22x3，所以2a2，2a2b2，ab2c3，解得：a1，b2，c1，从而f(x)x22x1.2已知函数yf(x)是一次函数，
4、且f(2x)f(3x1)5x9，求f(x)的解析式【解析】由题意，设一次函数的解析式为f(x)kxb(k0)，因为f(2x)f(3x1)5x9可得2kxbk(3x1)b5x9，整理得5kxk2b5x9，即5k5，k2b9，解得k1，b5，所以函数的解析式为f(x)x5.【跟踪训练】若函数 f(x)为二次函数，且 f(2x)f(x2)，f(2)4，f(0)0，求函数 f(x)的解析式【解析】由f(2x)f(x2)知：函数f(x)关于直线x2对称，因此，根据题意可设函数f(x)a(x2)2k，(a0)，则f(2)k4，f(0)4ak0，解得a1，故f(x)x24x.探究点二 换元法(或配凑法)、方
5、程组法求函数解析式 【典例2】(1)已知f(x1)x24x1，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)f(x)2x9.求f(x).(3)已知f(x)满足2f(x)f1x3x，求f(x).【思维导引】熟练掌握换元法、配凑法、方程组法求函数解析式的格式和步骤是解答的关键【解析】(1)方法一：(换元法)设x1t，则xt1，所以f(t)(t1)24(t1)1，即f(t)t22t2，所以所求函数解析式为f(x)x22x2.方法二：(配凑法)f(x1)x24x1(x1)22(x1)2，所以所求函数解析式为f(x)x22x2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)axb(a0
6、)，因为3f(x1)f(x)2x9，所以3a(x1)3baxb2x9，即2ax3a2b2x9，由恒等式性质，得2a2，3a2b9，所以a1，b3.所以所求函数解析式为f(x)x3.(3)2f(x)f1x3x 将中x换成1x，得2f1xf(x)3x 2得3f(x)6x3x.所以f(x)2x1x.【类题通法】1换元法的适用条件及步骤适用类型：已知f(g(x)，求f(x)的解析式一般步骤：(1)换元：令tg(x)，并写出t的范围(2)求解：用t表示x.(3)代入：将用t表示的x代入原式，写出解析式2用方程组法求函数解析式已知f(x)与f(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用(x)代替两边的所有x，
7、得到关于f(x)及f(x)的方程组，解之即可求出f(x).【定向训练】1已知g(x1)2x6，求g(3).【解析】方法一：令x1t，则xt1，所以g(t)g(x1)2(t1)62t8，所以g(x)2x8，所以g(3)23814.方法二：令x13，则x4，所以g(3)24614.2已知f(x 1)x2 x，求f(x)的解析式【解析】f(x 1)x2 x(x 1)21，所以f(x)x21，x1.【跟踪训练】已知对任意实数 x，y 都有 f(xy)2f(y)x22xyy23x3y，求 f(x).【解析】方法一：因为f(xy)2f(y)x22xyy23x3y对任意x，yR都成立，故可令xy0，得f(0
8、)2f(0)0，即f(0)0.再令y0，得f(x)2f(0)x23x，所以f(x)x23x.方法二：令x0，得f(y)2f(y)y23y，即f(y)y23y.因此f(y)y23y.故f(x)x23x.探究点三 画函数图象 【典例3】作出下列函数的图象：(1)y1x(xZ).(2)yx22x(x0，3).【思维导引】看函数的类型看函数的定义域描点、连线、成图【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y1x上，如图所示(2)因为x0，3)，所以这个函数的图象是抛物线yx22x在0 x3之间的一段弧，如图所示【类题通法】1图象法是表示函数的方法之一，它能直观形象地表示函数的变化情况，是
9、数形结合法求解函数问题的基础2函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点【知识延拓】作函数图象的步骤【定向训练】1函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是_，值域是_答案：1，0)(0，2 1，1)2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则当f(g(x)2时，x_【解析】由表格可知：f(1)2，因为f(g(x)2，所以g(x)1，而g(3)1，所以x3.答案：3【解析】(1)如图(1)(2)如图(2)【跟踪训练】1.作出下列
10、函数的图象：(只作图不写过程)(1)f(x)xx0.(2)f(x)1x(xZ 且2x2).2.已知二次函数f(x)ax2bx3(a0)满足f(3)f(1)0，(1)求f(x)的解析式(2)画出f(x)的图象(3)写出其值域【解析】(1)由f(3)f(1)0得：9a3b30，ab30，即3ab1，ab3，解得：a1，b2，所以f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)列表如下：x10123y03430描点，连线得f(x)的图象如图所示：课堂素养达标1反比例函数f(x)满足f(3)6，则f(x)()Ax6 B6x Cx18 D18x【解析】选D.设f(x)kx(k0)，则k3 6，k18.所以f
11、(x)18x.2已知函数f(x)的图象如图所示，则f(1)f(0)f(1)等于()A.2 B2 C0 D1【解析】选C.由图知f(1)1，f(0)0，f(1)1，所以f(1)f(0)f(1)1010.3(2021玉溪高一检测)已知函数f(2x1)6x5，则f(x)的解析式是_【解析】方法一：令2x1t，则xt12.所以f(t)6t1253t2，所以f(x)3x2.方法二：因为f(2x1)3(2x1)2，所以f(x)3x2.答案：f(x)3x24设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)的解析式是_.【解析】由f(x)2x3，g(x2)f(x)可知g(x2)2x32(x2)1.所以g(x)2x1.答案：g(x)2x1
