1、【例1】已知两直线l1：(a1)x(a1)y10，l2：ax(a1)y20，则当a为何值时，(1)l1l2;(2)l1l2?两直线的位置关系12121212121212112211222001021111011alylxllalxlxyllalxylyllaaaalaala当 时，直线 的方程为 直线 的方程为 ，显然；当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，与 不平行也不垂直；当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，与 不平行也不垂直；当且 且时，直线方法的斜率为，直线 的：斜率为【解析】1212121211/1131/.311111211.212aallaaaallaallaaaa
2、all欲使，必须，解得 即当 时，欲使，必须，解得 即当 和 时，122122/1(1)()031032)(1)(1)(1)021011122llaaa aaallaaaaaaaa ，即 ，得 ，即 ，解得 或方法：本题是由两直线的位置关系，确定参数的取值问题一般地，若直线l1与l2的方程分别为A1xB1yC10和A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10，l1l2A1A2B1B20.如果记住了这两个结论，就可以避免讨论23()|12()|(1)(1)115yAxyaxBxyaxayaAB集合，当 为何值时，【变式练习】？22(1)210(2,3)(1)(1)(1)
3、(1)12,32,3(1)(1)155425142AaxyaaaaaBaxayaaaAB注意到集合 表示直线 除去点，故两直线平行，则应有 ，所以，若直线 过点，则将点代入，得 或综上，当，或 或 时，【析】解对称问题【例2】一条光线经过点P(2,3)，射在直线l：xy10上，反射后穿过点Q(1,1)(1)求光线的入射光线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度【解析】先求出Q关于直线l的对称点Q的坐标，从而可确定过PQ的直线方程(1)设点Q(x，y)为Q关于直线l的对称点，且QQ交l于M点，因为kl1，所以kQQ1，所以QQ所在直线方程为xy0.21011(,)02211(1)22,(22)11
4、(1)22225420.3222|,|3222xyMMQQxyxQylNPNQyxxylQQNQNQPNNQPNNQPQ 由得点坐标为，又因为为中点，故由，设入射光线与 交点为，且，共线，得入射光线方程为，即 因为 是的垂直平分线，因而：所以224141PQ 即这条光线从 到 的长度是无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法【变式练习2】有一条光线从点A(2,1)射到直线l：xy0上后再反射到点B(3,4)，求反射光线的方程()1 1112221022(12)350.AlAabbaababABxy 设点 关于直线 的对称点 的坐标为，则有，
5、解得即 的坐标为，又反射光线经过点，则得反射光线的方程为 【】解析直线过定点问题【例3】当实数a变化时，直线l1：(2a1)x(a1)y(a1)0与直线l2：m2x2y2n60都过同一个定点.(1)当实数m、n变化时，求P(m，n)所在曲线C的方程;(2)过点(2,0)的直线l与(1)中所求曲线C交于E、F两点，又过E、F作曲线C的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程 1122222(21)(1)0.2102103(2,3)(2,3)26260.1 lxyaxyxyxxyyllmnnmPCyxCyx ：令，得，所以直线 过点 因为点 在直线 上，所以 ，所以，即点 在曲线：上所以曲线
6、的方程为析【解】112221222212121212(2)()()222.20.(2)802.122128180.1(2)820.8lyk xE xyF xyyxyxxxxyxkxkyk xkkxxkx xkllxxkklyxxy 设直线 的方程为 ，因为 ，所以 ，所以两切线的斜率为、由，得 则 ，当时，所以 ，得 符合所以直线 的方程为 ，即 (1)对求动直线过定点的问题，也可以对参数a取两个不同值后得到的两直线，求出它们的交点，得到定点坐标；(2)曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线l的斜率kf(x0)【变式练习3】已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直
7、线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程 (21)(1)0210102102103(2,3)535(2)570.12laxyb xyabxyxyxyxxyylQlPQPlllyxxy 【解将直线 的方程化为：，所以无论，如何变化，该直线系都恒过直线 与直线 的交点由，得所以直线 过定点当时，点 到直线 的距离最大，此时直线 的斜率为，所以直线 的方程为 ，即 析】1.设A(x，y)|y4x6，B(x，y)|y3x8，则AB_(2，2)46()|38(22)yxABxyyx，【，解析】2.已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y 2a 0，则 l1l
8、2 的 充 要 条 件 是 a _.1(2)326(2)1.a aaaa【解析】根据题意得，解得 3.若直线ykxk2与y2x4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是_2(2)3，y224246()(2)2220222.46302kxkyxkkkkkkkkkk 解方程组，得交点，因为交点在第一象限内，所以，即【解析】4.已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若A、B的坐标分别是A(4,2)、B(3,1)，求点C的坐标，并判断ABC的形状222(4,2)2()4420422(42)22214133100.21433100,2,4y2(34)(12)50AyxM xyxyxMyyxMBC
9、BCyxxyxyCxABAC 设关于直线 对称的点为，则由，解得,即，由几何知识知，应在直线上由两点式得直线的方程为,即 解方程组得 点的坐标为因为】解析，【222222222(24)(42)40(32)(14)1090.BCACBCABABCC ，所以，即是直角三角形，且 1231212135.20047 52101010121225lxyaalxylxyllaPPPPlPlPlPlP已知三条直线：，直线：和直线：，且 与 的距离是求 的值；能否找到一点，使得 点同时满足下列三个条件：是第一象限的点；点到 的距离是 点到 的距离的；点到 的距离与 到 的距离之比是；若能，求 点坐标；若不能，
10、说明理由 212220012000012021|7 52102117|03.22()120(3)21|3|13112265513112020.2612lxylladaaaP xyPPlll xycccccccxyxy 由：，所以 与 的距离化简得：，因为，所以 设点，若 点满足条件，则 点在与，平行的直线系：，且上，且，即 或 所以 或【】解析00000000000000000000000|23|2|1|552|23|1|24032032013320()2124021112092240PxyxyxyxyxyxPxxxyyxyxxyxyy 若 点满足条件，由点到直线的距离公式，有：即 ，所以 ，
11、或 ，由 在第一象限，所以 不可能，由方程组：舍去，由得 01 37()379 1818P，所以，即为同时满足三个条件的点 1212121212121212“1.1”llkkllllllll 两条直线平行的条件是：和 是两条不重合的直线;在 和 的斜率都存在的前提下得到的因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个前提 都会导致结论的错误 如果两条直线，的倾斜角为，,两条直线平行 ：推则论：12121212121212211.020llkkllk kllllklkl两条直线垂直的条件：设两条直线 和 的斜率分别为 和，则有 这里的前提是，的斜 两率都存在，且 的斜率 不存在或，且 条的直线垂直斜率：
12、不存在2点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，则距离公式点P到直线AxByC0点P到直线xad|x0a|点P到直线ybd|y0b|0022|AxByCdAB11122122200()00()|3 4AxByCAxByCCCCAxByCBxAyCCCCdABxy与直线 平行的直线系方程为 为参数且，与直线 垂直的直线系方程为为参数 用公式 求两平行线的距离时，要先将两个方程中、项系数化为相同解决对称问题的常用方法是：待定系数法、轨迹法1(2011苏州调研卷)“直线ax2y10和直线3x(a1)y10平行”的充要条件是“a_”答案：2选题感悟：“充要条件”是中学数学中极其重要的一个概念，可以灵活地与学科内或学科间的知识点相结合，因此始终是高考考查的热点本题主要考查了两直线间的相互关系及充要条件的概念，解题的关键在于正确运用两直线平行的充要条件来解决关于参数a的方程即可2(2011南通模拟)若直线axy10与直线xa2y10垂直，则a_.201011.1201.aaaaaa当 时，两直线显然垂直当时，由【，得 所以 的值是】或解析答案：0或1
