1、课时素养检测二十八平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知平面平面,过平面内的一条直线a的平面,与平面相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】选A.两平行平面,被第三个平面所截,则交线a,b平行.2.已知,a,B,则在内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线【解析】选D.由直线a与点B确定一个平面,记为,设=b,因为,a,所以a.所以ab.只有一条.3.下列说法
2、正确的个数是()两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.A.1B.2C.3D.0【解析】选A.错误,这两条相等的线段可能相交或异面;错误,直线可能在另一个平面内;正确.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1, BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是()A.AD1平面EFGHB.BD1GHC.BDEFD.平面EFGH平面A1BCD1【解析】选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1
3、的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;在B中,BD1CD1=D1,CD1GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BDA1B=B,A1BEF,故BD与EF不可能平行,故C错误;在D中,EFA1B,FGBC,A1BBC=B,EFFG=F,所以平面EFGH平面A1BCD1,故D正确.5.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1BD,点M是A1B1C1内的一个动点(含边界),且有平面BDM平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆【解析】选C.因为平面BDM平面A1C,平面
4、BDM平面A1B1C1=DM,平面A1C平面A1B1C1=A1C1,所以DMA1C1,过D作DE1A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).6.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下说法正确的是()A.BM平面ADEB.CN平面BAFC.平面BDM平面AFND.平面BDE平面NCF【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,则易判定四个说法都正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设平面,A,C,B,D,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当点S在平面,之间时,CS等于_.【解析】如图,由题意知,ASCB
5、SD,因为CD=34,所以SD=34-CS.由ASBS=CS(34-CS)知,89=CS(34-CS),所以CS=16.答案:168.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是_;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是_.【解析】观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1DC三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,B为ACD所在平面外一点,M,N,G分别为ABC,
6、ABD,BCD的重心.(1)求证:平面MNG平面ACD.(2)求SMNGSADC.【解析】(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H;因为M,N,G分别为ABC,ABD,BCD的重心,所以=,且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连接PF,FH,PH,有MNPF.又PF平面ACD,MN平面ACD,所以MN平面ACD.同理MG平面ACD,MGMN=M,所以平面MNG平面ACD.(2)由(1)可知=,所以MG=PH.又PH=AD,所以MG=AD;同理NG=AC,MN=CD.所以MNGDCA,其相似比为13,所以SMNGSACD=19.10.如图,平面平面,A,C,B,D
7、,点E,F分别在线段AB,CD上,且=.求证:EF平面.【证明】(1)若直线AB和CD共面,因为,平面ABDC与,分别交于AC,BD,所以ACBD.又=,所以EFACBD.所以EF平面.(2)若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在BAC中,EGAC,而AC平面,EG平面,所以EG.又,所以EG.同理可得GFBD,而BD,GF,所以GF.又EGGF=G,所以平面EGF.又EF平面EGF,所以EF平面.综合(1)(2)得EF平面.【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.求证:(1)MN平面CC1D1D.(2)平面M
8、NP平面CC1D1D.【证明】(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以N为AC中点.又因为M为AD1中点,所以MNCD1.因为MN平面CC1D1D,CD1平面CC1D1D,所以MN平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PNC1D.因为PN平面CC1D1D,C1D平面CC1D1D,所以PN平面CC1D1D,由(1)知MN平面CC1D1D,又MNPN=N,所以平面MNP平面CC1D1D.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对
9、的得3分,有选错的得0分)1.设,是两个不同的平面,m是直线且m,m,若使成立,则需增加条件()A.n是直线且n,nB.n,m是异面直线,nC.n,m是相交直线且n,nD.n,m是平行直线且n,n【解析】选C.要使成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,n,m是相交直线且n,n,m,m,由平面和平面平行的判定定理可得.2.设平面平面,A,B,C是AB的中点,当点A,B分别在平面,内运动时,动点C()A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点
10、C到,的距离始终相等,故点C在到,距离相等且与两平面都平行的平面上.3.下列命题:一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.0【解析】选C.根据面面平行的性质知正确.4.(多选题)已知平面平面,直线m,直线n,下列结论中正确的是()A.mB.n C.mnD.m与n不相交【解析】选ABD.由平面平面,直线m,直线n知:在A中,m,故A正确;在B中,n,故B正确;m,n平行或异面,一定不相交.故C错误,D正确.二、填空题(每小题5分,
11、共10分)5.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,则MN_平面SBC.【解析】过N作NGAD,交AB于G,连接MG,可得=,由已知条件=,得=,所以MGSB.因为MG平面SBC,SB平面SBC,所以MG平面SBC.又ADBC,所以NGBC,NG平面SBC,BC平面SBC,所以NG平面SBC,NGMG=G,所以平面SBC平面MNG,因为MN平面MNG,所以MN平面SBC.答案:6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是_.【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AA1B1B的交线
12、MN是AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1,D分别为B1C1,BC的中点.求证:平面A1D1B平面ADC1.【证明】连接D1D.因为D1DB1BA1A,所以四边形A1ADD1为平行四边形,所以A1D1AD.因为A1D1平面ADC1,AD平面ADC1,所以A1D1平面ADC1.因为BD1DC1,BD1平面ADC1,DC1平面ADC1,所以BD1平面ADC1,又因为A1D1BD1=D1,所以平面A1D1B平面ADC1.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,
13、P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QBPA.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1BPO,又因为D1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO,又因为D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,BAD= 90,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,=2.求证:平面MNO平面PAD.【证明】在梯形AB
14、CD中,因为ADBC,所以=2,又=2,所以ONBCAD.因为AD平面PAD,ON平面PAD,所以ON平面PAD.在PAC中,=2,所以OMAP,因为AP平面PAD,OM平面PAD,所以OM平面PAD,因为OM平面OMN,ON平面OMN,且OMON=O,所以平面MNO平面PAD.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)若E为A1C1的中点,求证:DE平面ABB1A1;(2)若E为A1C1上一点,且A1B平面B1DE,求的值.【解析】 (1)取B1C1的中点G,连接EG,GD,则EGA1B1,DGBB1,又EGDG=G,A1B1BB1=B1,所以平面DEG平面ABB1A1
15、,又DE平面DEG,所以DE平面ABB1A1.(2)设B1D交BC1于点F,连接EF,则平面A1BC1平面B1DE=EF.因为A1B平面B1DE,A1B平面A1BC1,所以A1BEF.所以=.又因为BDFC1B1F,所以=,所以=.【补偿训练】如图所示,平面平面,ABC,ABC分别在,内,线段AA,BB,CC共点于O,O在,之间,若AB=2,AC=1,BAC=90,OAOA=32.求ABC的面积.【解析】相交直线AA,BB所在平面和两平行平面,分别相交于AB,AB,由面面平行的性质定理可得ABAB.同理相交直线BB,CC确定的平面和平行平面,分别相交于BC,BC,从而BCBC.同理:ACAC.所以BAC与BAC的两边对应平行且方向相反,所以BAC=BAC.同理ABC=ABC,BCA=BCA.所以ABC与ABC的三内角分别相等,所以ABCABC,因为ABAB,AABB=O,所以在平面ABAB中,AOBAOB.所以=.而=ABAC=21=1,所以=,所以=1=.
