1、大二轮理2大二轮 数学 理第一步 考前必看 八大提分笔记六、解析几何 第三编 考前冲刺攻略3大二轮 数学 理1 直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k，即 ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为 ky1y2x1x2(x1x2)；直线的方向向量 a(1，k)；应用：证明三点共线：kABkBC.4大二轮 数学 理特别提醒：直线的倾斜角 越大，斜率 k 就越大，这种说法不正确.2 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都
2、有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率3 直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为 k，则直线方程为 yy0k(xx0)，它不包括垂直于 x 轴的直线(2)斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则直线方程为 ykxb，它不包括垂直于 x 轴的直线5大二轮 数学 理(3)两点式：已知直线经过 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为 yy1y2y1 xx1x2x1，它不包括垂直于坐标轴的直线(4)截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a，b，则直线方程为xayb1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线(5)一般式：任何直线均可写成
3、AxByC0(A，B 不同时为 0)的形式6大二轮 数学 理4 两直线的平行与垂直(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有 l1l2k1k2；l1l2k1k21.(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则有 l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.特别提醒：(1)A1A2B1B2C1C2、A1A2B1B2、A1A2B1B2C1C2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.7大二轮
4、 数学 理5 点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离为 d|Ax0By0C|A2B2；(2)两平行线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离为 d|C1C2|A2B2.8大二轮 数学 理6 圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 才表示圆心为D2，E2，半径为12 D2E24F的圆7 直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线 l：AxByC0 和圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离
5、、相切可从代数和几何两个方面来判断：9大二轮 数学 理代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则 dr相离；dr相切(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，则当|O1O2|r1r2 时，两圆外离；当|O1O2|r1r2 时，两圆外切；当|r1r2|O1O2|r1r2 时，两圆相交；当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；当 0|O1O2|b0)；焦点在 y 轴上，y2a2x2b21(ab0)(2)双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上，x2a2y2b21
6、(a0，b0)；焦点在 y 轴上，y2a2x2b21(a0，b0)(3)与双曲线x2a2y2b21 具有共同渐近线的双曲线系为x2a2y2b2(0)12大二轮 数学 理(4)抛物线的标准方程焦点在 x 轴上：y22px(p0)；焦点在 y 轴上：x22py(p0)10(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切13大二轮 数学 理(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为 k 的直线与圆锥曲线
7、交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|1k2x1x224x1x2或|P1P2|11k2 y1y224y1y2.(3)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则焦半径|CF|x1p2；弦长|CD|x1x2p；x1x2p24，y1y2p2.14大二轮 数学 理11 注意求轨迹方程与求轨迹的区别：轨迹是图形要有定型、定位、定量条件，轨迹方程是方程，注意其约束条件15大二轮 数学 理直线的倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线 xsiny0，则该直线的倾斜角的变化范围是_0，4 34，16大二轮 数学 理正解
8、由题意得，直线 xsiny0 直线的斜率 ksin，1sin1，1k1，当1k0，所以由基本不等式，得 k42ex1ex2(当且仅当 x0 时，等号成立)20大二轮 数学 理又 k0，所以1k0，即1tan0.所以34 2r得到点(3,5)在圆外，所以过点(3,5)的切线应有 2 条当切线的斜率存在时，设方程为 y5k(x3)，由圆心到切线的距离 d|2k3|k21 2，化简得 12k5，可解得 k 512，所以切线方程为 5x12y450.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，与圆相切综上可知切线方程为 5x12y450 或 x3.28大二轮 数学 理忽视圆的一般方程中隐含条件
9、致误例3 已知圆 C 的方程为 x2y2ax2ya20，一定点为 A(1,2)，且过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，求 a 的取值范围正解 由题意知a2224a20，1222a22a20.解得2 33 ar，即1a22212 43a22，化简得 a2a90，149350.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时，可以直接判断 D2E24F0，也可以配方后，判断方程右侧大于 0，因为右侧相当于 r2.31大二轮 数学 理补救训练 3 已知过点 P(2,1)有且只有一条直线与圆 C：x2y22axay2a2a10 相切，则实数 a_.1解析 由题意，得点 P(2,1)一定在圆 C 上，
10、且方程 x2y22axay2a2a10 表示一个圆，所以2a2a242a2a10，22124aa2a2a10.2a0，b0)的渐近线方程为 ybax，所以batan3 3，所以 b 3a，c a2b22a，故双曲线 C 的离心率 eca2aa 2；37大二轮 数学 理 当双曲线的焦点在 y 轴上时，由题意知双曲线 C：y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yabx，所以abtan3 3，所以 a 3b，c a2b22b，故双曲线 C 的离心率 eca 2b3b2 33.综上所述，双曲线 C 的离心率为 2 或2 33.38大二轮 数学 理忽视特殊情况(位置)致误例5 双曲线x2a2y
11、2b21(a0，b0)的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_(1,3正解 设|PF2|m，F1PF2(0)，当点 P 在右顶点处时，.当点 P 不在顶点时，由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos，且|PF1|PF2|m2a.39大二轮 数学 理所以 e2c2a m22m24m2cosm 54cos.又1cos1，所以 e(1,340大二轮 数学 理错解 如图，设|PF2|m，F1PF2(0)，由条件得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos，且|PF1|PF2|m2a.所以 e2c2a m
12、22m24m2cosm 54cos.又1cos0)，44大二轮 数学 理所以p21，解得 p2，所以曲线 的方程为 y24x.(2)PFAB为定值 0.证明如下：当过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直时，则直线 l 的方程为x1，根据抛物线的对称性，知点 P 在 x 轴上，所以 PFAB，所以PFAB0.当过点 F 的直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 yk(x1)，k0，45大二轮 数学 理由ykx1，y24x，得 k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k416k2160，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，yP)，不妨设 y10，y20)，得 y2 x
13、，y 1x，所以过点 A 的切线 PA 的方程为 yy1 1x1(xx1)，即 y xx1 x1；46大二轮 数学 理由 y24x(y0)，得 y2 x，y 1x，所以过点 B的切线PB的方程为yy2 1x2(xx2)，即y xx2 x2；由yP xPx1 x1，yP xPx2 x2，得xP x1x21，yP2k，即 P1，2k.47大二轮 数学 理所以直线 PF 的斜率 kPF2k0111k，所以 kPFk1kk1，所以 PFAB.综上所述，PFAB为定值，且定值为 0.48大二轮 数学 理忽视“判别式”致误例6 已知双曲线 x2y221，过点 A(1,1)能否作直线 l，使 l 与双曲线交
14、于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由正解 2 设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x21y2121，x22y2221.49大二轮 数学 理式得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2)因为点 A(1,1)为线段 PQ 的中点，所以x1x22，y1y22.将式、代入式得 x1x212(y1y2)若 x1x2，则直线 l 的斜率 ky1y2x1x22.所以直线 l 的方程为 2xy10，50大二轮 数学 理再由y2x1，x2y221，得 2x24x30.根据 80)的焦点在 x 轴上，右顶点
15、与上顶点分别为 A、B.顶点在原点，分别以 A、B 为焦点的抛物线 C1、C2 交于点 P(不同于 O 点)，且以 BP为直径的圆经过点 A.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M、N 不同两点，求OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程解(1)由已知得 A(a,0)，B(0,1)，以 A 为焦点的抛物线 C1 的方程为 y24ax，以 B 为焦点的抛物线 C2 的方程为 x24y.56大二轮 数学 理由y24axx24y得 P(4a13，4a23)，又以 BP 为直径的圆经过点 A，APAB，APAB0，(4a13 a,4a23)(a,1)0，
16、即 a43 4a23 40，得 a23 2，a28，故椭圆 C 的方程为x28y21.57大二轮 数学 理(2)由(1)知 P(4 2，8)，kOP 2，直线 l 的斜率 kl 22.设直线 l 的方程为 y 22 xt，由y 22 xt，x28y28，得5y22tyt240，则 4t245(t24)0，解得 t25，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)，则 y1y22t5，y1y2t245，58大二轮 数学 理由弦长公式得|MN|12|y2y1|3 y1y224y1y24 355t2.又点 O 到直线 l 的距离为 d|t|112 23|t|，S OMN 12|MN|d 12 4 355t
17、2 23|t|252 t25t2 25(t25t2)2，当且仅当 t25t2 时等号成立，又 t20，b0)的焦距为 2 7，其一条渐近线的倾斜角为，且 tan 32.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设点 A 是椭圆 E 的左顶点，P、Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点，若直线 AP、AQ 的斜率之积为14，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由65大二轮 数学 理解(1)双曲线x2a2y2b21 的焦距 2c2 7，则 c 7，a2b27，渐近线方程为 ybax，由题知 tanba 32，由解得 a
18、24，b23，椭圆 E 的方程为x24y231.(2)在(1)的条件下，当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 ykxm，66大二轮 数学 理由 x24y231，ykxm消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 x1x28km34k2，x1x24m21234k2.又 A(2,0)，由题知 kAPkAQ y1x12 y2x2214，则(x12)(x22)4y1y20，且 x1，x22，则 x1x22(x1x2)44(kx1m)(kx2m)67大二轮 数学 理(14k2)x1x2(24km)(x1x2)4m2414k24m21234k2
19、(24km)8km34k24m240，则 m2km2k20，(m2k)(mk)0，m2k 或 mk.当 m2k 时，直线 PQ 的方程为 ykx2kk(x2)，此时直线 PQ 过定点(2,0)，显然不适合题意当 mk 时，直线 PQ 的方程为 ykxkk(x1)，此时直线 PQ 过定点(1,0)68大二轮 数学 理当直线 PQ 的斜率不存在时，若直线 PQ 过定点(1,0)，P、Q 点的坐标分别是1，32、1，32，满足 kAPkAQ14.综上，直线 PQ 恒过定点(1,0).69大二轮 数学 理忽略变量间的关系致误例8 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e233，过点 A(
20、0，b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 32，直线 ykxm(k0，m0)与该双曲线交于不同两点 C、D，且 C、D 两点都在以 A 为圆心的圆上，求 m 的取值范围70大二轮 数学 理正解 由已知，有e21ba243，aba2b2 32，解之得 a23，b21.所以双曲线方程为x23y21.将直线 ykxm 代入双曲线方程，并整理得(13k2)x26kmx3m230，所以 12(m213k2)0.设 CD 中点为 P(x0，y0)，则 APCD，71大二轮 数学 理且易知：x0 3km13k2，y0m13k2.所以 kAPm13k213km13k21k.3k24m1.将式代入式，得 m
21、24m0，解得 m4 或 m0，所以 m14.故所求 m 的范围应为14，0(4，)72大二轮 数学 理错解 由已知，得e21ba243，aba2b2 32，解之得 a23，b21.所以双曲线方程为x23y21.将直线 ykxm 代入双曲线方程，并整理得(13k2)x26kmx3m230，所以 12(m213k2)0.设 CD 中点为 P(x0，y0)，则 APCD，73大二轮 数学 理且易知：x0 3km13k2，y0m13k2.所以 kAPm13k213km13k21k3k24m1.将式代入式，得 m24m0，解得 m4 或 m0 或 k 与 m 两变量之间的制约关系，则会出现解答不全，导
22、致错误.75大二轮 数学 理补救训练 8 2016洛阳高三统考已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，kOAkOBb2a2，判断AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由76大二轮 数学 理解(1)由题意得 c1，又 eca12，所以 a2，从而b2a2c23，所以椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y231，ykxm得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0 得 m20.由弦长公式得|AB|1k2|x1x2|1k2484k2m2334k22241k234k2.78大二轮 数学 理又点 O 到直线 l：ykxm 的距离 d|m|1k2，所 以 S AOB 12 d|AB|12241k234k2|m|1k2 1224m234k232m234k2334k234k2 3，故AOB 的面积为定值 3.
