1、河南省郑州市金水区实验中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题1.在中，角，所对的边分别为，若，则（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题2.在数列中，已知，则一定（ ）A. 是等差数列B. 是等比数列C. 不是等差数列D. 不是等比数列【答案】C【解析】【分析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断【详解】因为，所以一定不是等差数列，故选C【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性
2、质的应用3.在中，角所对的边分别为，下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确；选项B,实际上是正弦定理的变形，所以该选项是正确的；选项C,由于,所以该选项正确；选项D,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.故选D【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在等差数列中，若.，则（ ）A. 100B. 90C. 95D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.【详解】数列为等差数列，
3、.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5.各项均为实数的等比数列an前n项之和记为 ,若, 则等于A. 150B. -200C. 150或-200D. -50或400【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的前n项和公式化简S1010，S3070，分别求得关于q的两个关系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n项和公式计算S40即可【详解】因为an是等比数列，所以有，二式相除得，整理得解得或（舍）所以有=所以=150答案选A【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养6.若满足，则为（ ）A. 等
4、边三角形B. 有一个内角为的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 有一个内角为的等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】由正弦定理可知，又，所以，有.所以.所以.所以为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7.设的内角所对边分别为则该三角形（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数【详解】由正弦定理得，所以，或，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可
5、以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、，该三角形解的个数判断如下：（1）为直角或钝角，一解；，无解；（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.8.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】数列an单调递增an+1an，可得：n+1+n+，化简解出即可得出【详解】数列an单调递增an+1an，可得：n+1+n+，化为：an2+na2故选C【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.在中，角的对边分别是，若，且三边成等比数列，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】
6、C【解析】【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出，再利余弦定理以及条件得出可得出是等边三角形，于此可得出的值【详解】，由正弦定理边角互化的思想得，则.、成等比数列，则，由余弦定理得，化简得，则是等边三角形，故选C【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题10.已知在数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】递推关系式乘以，再减去3，构造等比数列求通项公式.【详解】因为，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查
7、构造数列求通项公式.一般地，譬如的形式，通常通过除以来进行构造；而对于形如的形式，则通过待定系数来构造.11.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且BC边上的高为,则的最大值为( )A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】先由题得到，再化简，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】由题意可知，得，所以，由BC边上的高为可得，故当时的最大值为.故答案为A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.设正项数列满足，若表示不超过x的最大整数，(例如，)则（ ）A. 2018
8、B. 2019C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解.【详解】数列满足，整理得，由于数列为正项数列，所以，整理得，故，各式相乘得到，又，所以.则，当时，；当时，则=1.所以.故选：C.【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列是问题的关键.本题属于数列综合题.二填空题13.设为等比数列的前n项和且，则_.【答案】3【解析】【分析】由，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数.【详解】为等比数列的前n项和且， ， ，成等比数列，解得.故答案
9、为：3.【点睛】本题考查等比数列前项和的性质；一般地，在等比数列中，.14.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角，求出的范围，即可求得结论.【详解】，.故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15.若是正项递增等比数列，表示其前项之积，且，则当取最小值时，的值为_【答案】15【解析】试题分析：因为，所以所以是正项递增等比数列,所以，所以最小.考点：等比数列的性质.16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法
10、：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，是的内角，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三解答题17.已知公差不为的等差数列满足若，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对比中项的性质即可
11、得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决【详解】（1）因为成等比数列，所以，所以，即，因为，所以，所以；（2）因为，所以，.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质数列的前的求法，求数列前项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消18.在中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）点D在边BC上，.求AC.【答案】（1）；（2）2【解析】分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在中用正弦定理求AD，再在中，用余弦定理求AC.【详解】（1）由，利用正弦定理
12、得:，即，得，又，所以，所以，得，又，所以.（2）根据题意，作图如下：由，所以，又因为，所以；在中，由正弦定理得，又，所以；在中，由余弦定理得， 解得【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19.如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里()求的值；()试问
13、海警船再向前航行多少分钟方可到岛？【答案】（）； （）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.【解析】【分析】() 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.()首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.【详解】()由已知可得，中，根据余弦定理求得，()由已知可得，中，由正弦定理可得，分钟即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛【点睛】本题考查了正余弦定理实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的
14、通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时, 当时,上式也成立（2）数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21.设的内角所对的边分别为，已知（）求角的大小；（）若，边上的中线，求的面积【答案】（）（）【解析】【分析】（）由正弦定理化简得到答案.（），平方，代入公式利用余弦定理得到答案.【详解】（）因为，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，又因为，所以 （）由M是中点，得，即，所以，又根据余弦定理，有，联立，得所以的面积【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合
15、应用能力.22.数列的前项和.（1）求通项公式；（2）设，求数列的前项和，并求使成立的实数最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式；（2）对数列可用错位相减法求其和不等式恒成立，可转化为先求的最大值【详解】（1）由得.由，可知，可得，即.因为，所以，故因此是首项为，公比为的等比数列，故.（2）由（1）知.所以两边同乘以得相减得从而于是，当是奇数时，因为，所以.当是偶数时，因此.因为，所以，的最小值为.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查错位相减法求和适用错位相减法求和的数列一般是，其中是等差数列，是等比数列
