1、考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或
2、最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值 是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例:【2013福建理】设函数的定义域为R，是的极大值点，以
3、下结论一定正确的是（ ）A B.是的极小值点 C. 是的极小值点 D.是的极小值点 名师点睛：一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。【2013广东文】设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值的最小值,变式训练:【变式1】设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.()求的值;()求函数的极值.【解析】(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 【变式2】已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单
4、调区间,并求其在区间上的最大值.若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 方法、规律归纳:1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值2、求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得实战演练:1、若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;2、设函数,为正整数,为常数,曲
5、线在处的切线方程为.(1)求的值; (2)求函数的最大值;3、已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值为; 当时,函数在区间上的最大值小于28. 因此,的取值范围是 4、已知函数 f(x)xax3x.(1)若 f(x)在区间1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若x是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g(x)bx 的图像与函数 f(x)的图像恰有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的取值范围；若不存
6、在，试说明理由当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f (x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不等实根x34x23xbx0，x0是其中一个根，方程x24x3b0有两个非零不等实根， ，b7且b3.存在符合条件的实数b，b的范围为b7且b3.5、设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增
