1、专题一 专题二 专题三 专题一 轨迹问题 求轨迹方程是解析几何中的重点内容,也是难点之一.在高考试题中,往往处在综合题目的第一步,是解答其他步骤的基础,对整个题目的正确解决往往起到举足轻重的作用.由于求轨迹方程时所给的条件多种多样,所以求轨迹方程的方法是灵活的,常用的方法如下:1.直接法 当动点直接与已知条件发生联系时,在设曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据题设条件将自然语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标x,y间的关系式(等式)的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2、专题一 专题二 专题三 2.定义法 若动点的轨迹的条件符合某种已知曲线的定义,如椭圆、双曲线、抛物线的定义等,则可先设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法叫定义法.利用定义法求轨迹方程时要善于分析元素的几何特征,并与常见曲线的定义相联系.3.代入法 若轨迹上的点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y),而点Q(x,y)又在某已知曲线上,则可列出关于x,y,x,y的方程组,利用x,y表示出x,y,把x,y代入已知曲线的方程便得到动点P的轨迹方程,此法称为代入法,也叫转移法或相关点法.4.代换法 求弦中点的轨迹方程,常常运用“设而不求”的技巧,通过中点坐标及斜率的代换,达到求出轨
3、迹方程的目的,这种求轨迹方程的方法叫代换法,也有人称之为“点差法”或“设而不求法”.专题一 专题二 专题三 应用1 已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.提示:先根据椭圆的定义,列出关系式,再将其坐标化即可.解:|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,故点 F 的轨迹方程是 y2 248=1(-1).专题一 专题二 专题三 应用2 已知两圆C
4、1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,求动圆圆心的轨迹方程.提示:先利用两圆内切和外切求得圆心距,再利用椭圆的定义求解.解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r,连接PC1,PC2(如图).则|PC1|=13-r,|PC2|=3+r,所以|PC1|+|PC2|=16.由椭圆的定义知:点P的轨迹是以点C1,C2为焦点的椭圆,其中2c=8,2a=16,所以b2=a2-c2=48,所以动圆圆心的轨迹方程为 264+248=1.专题一 专题二 专题三 应用3 过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的
5、中点P的轨迹方程.提示:先找到点P和点Q坐标之间的关系,再利用点Q坐标满足双曲线方程,间接求得点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.又因为 PQ 垂直于直线 x+y=2,所以-1-1=1,即 x-y+y1-x1=0.联立解得 1=32 +12-1,1=12 +32-1,因为点 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,所以12 12=1,将代入,得动点 P 的轨迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0.专题一 专题二 专题三 专题二 圆锥曲线的应用问题 椭圆、
6、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线,灵活地运用圆锥曲线的定义和性质,可提高解题效率.应用 已知 F1,F2 是椭圆 22+22=1(0)的两焦点,是椭圆上任一点,从任一焦点引F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线专题一 专题二 专题三 解析:如图所示,延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,则APF1是等腰三角形,|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.点O是线段F1F2的中点,点Q是线段AF1的中点,|OQ|=12|2|=.又当点P为椭圆的左、右顶点时也满足题意,点Q的轨迹是以原点O
7、为圆心,半径为a的圆.答案:A 专题一 专题二 专题三 专题三 与圆锥曲线有关的最值问题 与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,现把这类问题的求解策略与方法介绍如下:(1)平面几何法.平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.(2)目标函数法.建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.(3)判别式法.专题一 专题二 专题三(4)圆锥曲线定义的应用.通常运用圆锥曲线的定义求解的题目如下:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求过焦点的弦长、焦半径.要注
8、意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验,以提高灵活运用定义解题的能力.专题一 专题二 专题三 应用1已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为()A.(0,0)B.(1,-2 2)C.(2,-2)D.12,-2 解析:如图,过点 M 作抛物线的准线 l 的垂线,垂足为 E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点 M 在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当 M 移到 M时,A,M,E三点共线,|ME|+|MA|最小,此时AMOx.把 y=-2 代入 y2=8x,得 x=12,所以M的坐标为 12,-2
9、,故选D.答案:D专题一 专题二 专题三 应用 2 已知 F1,F2 为椭圆 x2+22=1 的两个焦点,是过焦点2 的一条动弦,求ABF1 面积的最大值.提示:ABF1的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.解:由题意,知|F1F2|=2.经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.故设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则 xA+xB=22+2,xB=12+2,|xA-xB|=8(2+1)2+2.专题一 专题二 专题三 1=12|12|xA-xB|=12 2 2 2 2+
10、12+2=2 2 1 2+1+1 2+12 2 12=2.当 2+1=1 2+1,即k=0 时,ABF1 的面积最大,为 2.专题一 专题二 专题三 应用3设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若 =6 ,求的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.提示:将四边形AEBF的面积视为AEB与AFB(或BEF与AEF)面积的和,求得目标函数,应用均值不等式可求最值.专题一 专题二 专题三 解:(1)依题设得,椭圆的方程为 24+2=1,直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k0).如
11、图,设 D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x10,y2=-y10,故四边形 AEBF 的面积为S=SBEF+SAEF=x2+2y2=(2+22)2=22+422+422 2(22+422)=2 2,当 x2=2y2 时,上式取等号,所以 S 的最大值为 2 2.1234561.(陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=8x C.y2=-4xD.y2=4x 解析:因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以抛物线的开口向右,设抛物线的标准方程为 y2=2px(p0),则其准线方程为 x=2,所以 2=2,解得p=
12、4.所以抛物线的标准方程为 y2=8x.答案:B1234562.(福建高考)已知双曲线 24 22=1 的右焦点与抛物线2=12的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.5 B.4 2C.3D.5解析:由双曲线的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,知 c=2=3,所以c2=9=4+b2,于是 b2=5,所以 b=5.因此该双曲线的渐近线的方程为y=52,即 5 2=0.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d=|3 5|5+4=5.答案:A1234563.(山东高考)已知双曲线 22 22=1(0,0)的两条渐近线均和圆:2+2 6+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则
13、该双曲线的方程为()A.25 24=1B.24 25=1C.23 26=1D.26 23=1123456解析:由题意得,22 22=1(0,0)的两条渐近线方程为y=,即bxay=0.又圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为 2,圆心坐标为(3,0).所以 a2+b2=32=9,且|3|2+2=2,解得 a2=5,b2=4.所以该双曲线的方程为 25 24=1.答案:A1234564.(课标全国高考)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3解析
14、:设双曲线的两焦点分别为 F1,F2,由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a,在 RtAF1F2 中,|AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|=4(2+2),|AF2|-|AF1|=4(2+2)2=2,即 3a2=c2,e=3.答案:B1234565.(陕西高考)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽 m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x=6,所以水面宽 2 6 m.答案:2 61234566.(辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线 C:22 22=1 0,0 上,的焦距为 4,则它的离心率为_.解析:42 92=1 与a2+b2=4 联立,求得 a=1,所以 e=2.答案:2
