1、河南省郑州市第一中学2020届高三数学联考试题 文（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，可求，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.2.设集合，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合，结合选项进行判断.【详解】因为，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，把集合化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指
3、标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kgD. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程分析，x的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性
4、相关关系，故A正确；线性回归方程必过样本中心点，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确；当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题.4.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：若，则圆的圆心，到直线的距离为，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线与圆相切，则圆心到直线距离为，解得或，所以必要性不成立.故选：B.考点：直
5、线与圆的位置关系、充分必要条件5.已知向量，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出，再由向量，共线时，求出，进而可求出结果.【详解】因为，所以；因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6.设函数，若，则方程的所有根之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先进行化简函数，利用三角函数的对称性进行求解即可【详解
6、】，又，方程有两根，由对称性得，解得.答案：D【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力，属于基础题.7.若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出，利用基本不等式求得的最大值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.8.骰子（tou zi），在北方很多地区又叫色子（shai zi），是中国传统民间娱乐用来
7、投掷的博具，最早可以追溯至战国时期，通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，骰子是容易制作和取得的乱数产生器.汉代班固在弈旨一文中云：“博悬于投，不专在行.”也就是说，它们都是要通过掷骰子这种带有很大偶然性的方式来进行游戏.这种“悬于投”的特点，也成为中国古代的“博”与“弈”之间一个重要的分界线.现投掷两枚质地均匀的骰子（六面骰），其向上的点数分别记为a，b，则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合截距的概念可求得直线在y轴、x轴上的截距，进而可得直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距等价于，求出所有基本事件数及满足
8、的基本事件数，由古典概型概率公式即可得直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距的概率，再由对立事件的概率关系即可得解.【详解】由题意直线在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，若直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距，则，由可得，又的所有取值有36个，其中满足的有，共15个，则直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距的概率，则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率.故选：A.【点睛】本题考查了直线截距及古典概型概率的求解，考查了对立事件概率关系的应用及转化化归思想，属于中档题.9.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分
9、析】构造函数与，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数，则，所以函数为定义域上的为偶函数，作出函数与的图象，如图所示，当时，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，两函数有1个交点，即1个零点；当时，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.10.已知过双曲线的左焦点的直线与双曲线左支
10、交于点，过原点与弦中点的直线交直线于点，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，得，设，将直线的方程代入双曲线的方程，消去，根据韦达定理，以及题中条件，得到，求得直线的方程为，求出，推出，得到，根据题意，求出，即可得出结果.【详解】由得其左焦点为，则由题意可设，代入双曲线的方程，消去，整理得.设，由根与系数的关系，得，即直线的方程为.令，得，即，直线的斜率为，则必有，即，解得.又，从而直线的方程为或.故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程，熟记直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11.设，为
11、空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，且，则； 若，且，则.其中所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】若，过做平面，则，故正确；若，则可能平行，相交或异面，故错误；若，且，则相交或平行，故错误；若，且，则，过做平面，则，所以，故正确故选：D12.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，
12、厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（ ）参考数据: ，. A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足线性约束条件，则的最大值为_.【答案】12【解析】【分析】由线性约束条件，作出可行域， 的几何意义
13、为直线的截距，移动直线可得经过A点，取最大值.【详解】由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，的几何意义为直线的截距，作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即.故答案为：12【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题，考查了数学运算能力和数形结合能力，属于基础题目.14.过抛物线的焦点的直线被分成长度为，的两段，请写出一个，满足的等量关系式_.【答案】【解析】【分析】先由题意，设，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，再由题意，得到，求得，从而得到，求解，即可得出结果.【详解】由题意， 设，直线的方程为：，由消去，得到，所以，所以，又过抛物
14、线的焦点的直线被分成长度为，的两段，所以，所以，因此，所以，即，整理得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用，熟记抛物线的焦点弦长公式，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术
15、培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金（万元）的3倍，已知，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_万元.【答案】200【解析】【分析】设等差数列的公差为d，且满足.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，再利用基本不等式求最值即可.【详解】设等差数列的公差为d，且满足.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，当且仅当时等号成立.故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.故答案为：200【点睛】本题考查了等差数列前项和公式在实际问题中的应用，也考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.16.函数，若，则在的最小
16、值为_；当时，恒成立，则a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将代入，求出函数的导数得出恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性可得，进而可得结果.【详解】当时，.当时，恒成立，在上单调递增.在上最小值为.又时，恒成立，令 ,所以在 递增， 所以恒成立，.故答案为；.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知为数列的前n项和，从下面两个条
17、件中选择其中一个作为条件求下列问题：条件1：数列为正项等比数列，；条件2：数列为等差数列，求数列的通项公式、前n项和、数列的前n项和.【答案】条件1：，；条件2：，.【解析】【分析】条件1：利用等比数列的通项公式列出方程组，得出数列的通项公式，再由等比数列的求和公式得出前n项和，由结合裂项相消法求和得出数列的前n项和；条件2：利用等差数列的通项公式以及求和公式得出数列的通项公式、前n项和，再由裂项相消法求和得出数列的前n项和.【详解】条件1：因为数列为正项等比数列，所以，解得，.所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列所以，.又所以.条件2：因为数列为等差数列，:所以，解得，.所以数列是以7为
18、首项，2为公差的等差数列所以，又，所以.【点睛】本题主要考查了求等差，等比的通项公式和前项和，利用裂项相消法求和，属于中档题.18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入人类非物质文化遗产代表作名录遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位
19、游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）购买人数101520152010（1）根据以上数据估计2020年春节期间，旅客购买土特产不少于45元的概率；（2）根据以上数据估计2020年春节期间，旅客购买土特产消费的平均金额（取整数）；（3）根据以上数据完成22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关不少于60元少于60元总计年龄大于5040龄小于5018总计附参考公式和数据：，.0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.84166357.879【答案】（1）；（2）46元；（3）表格见解析，能在犯错误
20、的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据题意，由统计表分析可得购买金额不少于45元的人数，进而计算可得答案；（2）直接根据平均数的概念即可得结果；（3）根据题意，完善列联表，进而计算的值，结合独立性检验知识分析可得答案.【详解】解：（1）根据以上数据，旅客购买土特产不少于45元的频率为，因此估计2020年春节期间，旅客购买土特产不少于45元的概率为.（2）根据以上数据，旅客购买土特产消费的平均金额为：因此估计2020年春节期间，旅客购买土特产消费的平均金额大约为46元.（3）22列联表如下：不少于60元少于60元总计年龄大于50124052龄
21、小于50182038总计306090，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，涉及古典概型以及平均数的计算，属于基础题.19.如图，已知五面体中，四边形为等腰梯形，且，平面平面.（1）证明：；（2）求三棱锥与三棱锥的体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）1:1.【解析】【分析】（1）取中点M，连接，先由题中条件，得到，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得出；（2）由，利用等体积转化求得，再求得三棱锥的体积，计算即可得出结果.【详解】解：（1）证明：取中点M，连接，如图:.因为四边形为等腰
22、梯形，所以，所以四边形平行四边形，所以，三角形为等边三角形，所以，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）因为，.，所以三棱锥与三棱锥的体积之比为1:1.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，熟记线面、面面垂直的性质定理是证明的关键，考查了等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.20.已知椭圆过点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交曲线于、两点，若射线交椭圆于点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得出关于、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）对直线的
23、斜率是否存在进行分类讨论.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，推导出，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式和基本不等式求得的最大值，可得面积的最大值；在直线的斜率不存在时，设点，可得出直线的方程为，求得面积关于的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值，综合可得出结论.【详解】（1）由条件可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）当所在直线斜率存在时，设所在直线方程为，由，得，同理可得，即到直线的距离是点到直线距离的倍. 设、，联立，得.由，得，由韦达定理得，则，原点到直线的距离，当且仅当，即时等号成立.因此，面积的最大值为；当所在直线斜率不存在时，设，则，设
24、直线的方程为（其中）.联立，得，则.，当且仅当时，等号成立.当时，同理可知，面积的最大值为.综上，面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，同时也考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于难题.21.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）由（1）可求出函数的值域，再根据数形结合，即可求出的范围； （3）构造函数
25、，利用导数可证函数在上单调递增，可证对恒成立，由，则，利用函数单调性，可证，再根据函数单调性，即可证明【详解】解：（1）因为，所以，.可得函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知函数在处取得最大值，所以函数的图象大致如下：. 易知函数的值域为.因为方程有两个不同的根，所以，即，解得.即实数a的取值范围为（3）证明：由，不妨设，构造函数，则，所以在上单调递增，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因，且在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，是一道综合题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中
26、任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与和的交点分别为M，N，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线与的直角坐标方程； （2）联将直线的极坐标方程分别于曲线与的极坐标方程联立，即可求出，再根据，即可求出结果.【详解】解：（1）由，得，曲线的直角坐标方程为.由，得，曲线的直角坐标方程为.（2）联立，得，联立，得，.故.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角
27、坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将恒成立等价于恒成立，再解绝对值不等式，即可得到答案；【详解】解：（1）当时，.当时，由，得，解得，所以；当时，由，得，解得，所以；当时，解得，所以无解.综上的解集为（2），当且仅当时等号成立，故恒成立等价于恒成立，由，可得或，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
