1、选修4-5不等式选讲1.2021晋南高中联考已知函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在图1坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的值域;(2)若f(x)|x+a|恒成立,求a的取值范围.图12.2021长春市高三质监已知a0,b0,a+b=4.(1)求证:a2+b22 2.(2)求证:1a+2+2b12+ 23.3.2021蓉城名校联考已知mn0,函数f(x)=|x+1n(m-n)|.(1)若m=3,n=1,求不等式f(x)2的解集;(2)求证:f(x)4-|x-m2|.4.2020陕西省部分学校摸底检测已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-4时,求不等式
2、f(x)6的解集;(2)若f(x)|x-3|的解集包含0,1,求实数a的取值范围.5.2020河南安阳高三第一次调研考试已知函数f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1时,f(x)3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范围,并写出相应的最小值.6.2019四省八校联考已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)4;(2)若x1R,x2R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.7.2021贵阳市四校第二次联考已知函数f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)|x-1|.(2)当m-1时,函数g(x)=f
3、(x)+|x-m|的图象与x轴围成一个三角形,求实数m的取值范围.8.2021安徽省示范高中联考已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|9的解集;(2)若关于x的方程f(x)-k2+3k=0有实数解,求实数k的取值范围.9.2021陕西百校联考已知函数f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)12(x-1)的解集;(2)若函数f(x)的最大值为n,且2a+b=n(a0,b0),求2a+1b的最小值.10.2020惠州市一调已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)3的解集;(2)若x1时,不等式f
4、(x)x+2恒成立,求a的取值范围.11.2020四川五校联考已知函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(2x)-f(x+1)2的解集;(2)若a0,b0且a+b=f(3),求证:a+1+b+122.12.2020安徽安庆二模已知a0,b0,且a2+b2=1.(1)若对任意的正数a,b,不等式|2x-1|1a2+1b2恒成立,求实数x的取值范围;(2)证明:(1a+1b)(a5+b5)1.答 案选修4-5不等式选讲1.(1)由题设知,f(x)=-4,x-32x+2,-3x0,b0,所以a2+b22ab,所以a2+b2a2+b2+2ab2,所以a2+b222(a+b)=22,当且仅当a=b=
5、2时取等号.(2)因为a+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)a+2+b6=161+2+ba+2+2(a+2)b16(3+22)=12+23,当且仅当2(a+2)=ba+b=4,即a=62-8b=12-62时取等号.3.(1)依题意,得f(x)=|x+12|,则f(x)2|x+12|2x+122或x+1232或x2的解集为x|x32或x-52.(2)依题意,f(x)4-|x-m2|x+1n(m-n)|+|x-m2|4,因为|x+1n(m-n)|+|x-m2|x+1n(m-n)-(x-m2)|=m2+1n(m-n),m=n+(m-n)2n(m-n),故1n(m-n)
6、4m2,故m2+1n(m-n)m2+4m24,当且仅当m=2,n=22时,等号成立.4.(1)当a=-4时,f(x)6即|x-4|+|x-2|6,即x2,4-x+2-x6或2x4,4-x+x-26或x4,x-4+x-26,解得x0或x或x6,所以原不等式的解集为(-,06,+).(2)f(x)|x-3|的解集包含0,1等价于f(x)|x-3|在0,1上恒成立,即|x+a|+2-x3-x在0,1上恒成立,即-1-xa1-x在0,1上恒成立,所以-1a0,即实数a的取值范围为-1,0.【归纳总结】解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成
7、立问题,然后转化为求函数最值的问题.5.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x+2|=-2x-3,x-2,1,-2x-1,2x+3,x-1.当x-2时,f(x)3即-2x-33,解得-3x-2;当-2x-1时,f(x)3即13,恒成立;当x-1时,f(x)3即2x+33,解得-1x0.综上可得f(x)3的解集为-3,0.(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(a+1)x-2a-1,x-2,(a-1)x+2a-1,-2x0,即a-1时,f(x)无最小值;当-(a+1)=0,即a=-1时,f(x)有最小值-1;当-(a+1)0且a-10,即-1a1时,f(x)min=f(-1)=a;当
8、-(a+1)0,即a1时,f(x)min=f(-2)=1.综上,若f(x)有最小值,则a的取值范围为-1,+),且当-1a1时,f(x)min=f(-1)=a,当a1时,f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)4,即|2x-1|-|x+2|4.当x4,解得x4,解得-2x12时,2x-1-(x+2)4,解得x7.综上,不等式f(x)4的解集为x|x7.(2)因为x1R,x2R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因为f(x)=|2x-1|-|x+2|=-x+3,x12,所以可得f(x)的值域为-52,+).易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域
9、为-|2a+1|,|2a+1|,所以-|2a+1|-52,即|2a+1|52,则-522a+152,-74a34,即实数a的取值范围为-74,34.7.(1)由题意知,原不等式等价于x-1,-2x-2-51-x或-11,2x+2-5x-1,解得x-8或或x2,综上,不等式f(x)|x-1|的解集为(-,-82,+).(2)当m=-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形,满足题意;当m-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3x+m-7,x-1,x+m-3,-1m,则函数g(x)在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调
10、递增,要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形,则g(-1)=m-40,g(m)=2m-30,解得32m12,(2x-1)+(2x+3)9或-32x12,-(2x-1)+(2x+3)9或x-32,-(2x-1)-(2x+3)9,解得12x74或-32x12或-114x-32,所以不等式的解集为x|-114x74.(2)|2x-1|+|2x+3|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有实数解,即函数y=f(x)与y=k2-3k的图象有交点,只需k2-3k4,解得k-1或k4.所以实数k的取值范围为k|k-1或k4.9.(1)由已知得f(x)=x-2,x32,当x32时,-x+2
11、12(x-1)320,b0),2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba)=10+4(ab+ba)10+42baab=18,当且仅当ab=ba,即a=b=16时,“=”成立.故2a+1b的最小值为18.10.(1)解法一当a=1时,不等式f(x)3即|x+1|+|x|3.当x-1时,-x-1-x3,解得x-2,所以x-2;当-1x0时,x+1-x3,无解;当x0时,x+1+x3,解得x1,所以x1.综上,不等式f(x)3的解集为(-,-21,+).解法二当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=-2x-1,x-1,1,-1x0,2x+1,x0,当x-1时,-2x-13
12、,解得x-2,所以x-2;当-1x0时,13显然不成立;当x0时,2x+13,解得x1,所以x1.综上,不等式f(x)3的解集为(-,-21,+).(2)解法一当x1时,不等式f(x)x+2恒成立即|ax-a+1|1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.数形结合可知,当a0时,|ax-a+1|1在1,+)上恒成立.所以,所求a的取值范围为0,+).解法二当x1时,不等式f(x)x+2恒成立即|ax-a+1|1恒成立.所以ax-a+1-1或ax-a+11,即a(x-1)-2或a(x-1)0.当x1时,aR,不等式a(x-1)-2不恒成立,当x1
13、时,要使不等式a(x-1)0恒成立,需a0.所以,所求a的取值范围为0,+).11.解法一(1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x0,1-3x,0x12,x-1,x12,由f(2x)-f(x+1)2得x0,1-x2或0x0,b0,所以根据基本不等式得(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)2=2成立(当且仅当a=b=1时取等号),故命题得证.解法二(1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x0,1-3x,0x0,b0,所以2a+1a+32,2b+1b+32,故2a+1+2b+1a+32+b
14、+32=4,所以a+1+b+122成立(当且仅当a=b=1时取等号).故命题得证.【方法总结】含绝对值的不等式的解法有两种:一是零点分段法,即运用分类讨论思想求解;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想求解.12.(1)因为a2+b2=1,所以1a2+1b2=(1a2+1b2)(a2+b2)=2+b2a2+a2b22+2b2a2a2b2=4,即1a2+1b24,当且仅当a=b=22时取等号,因此1a2+1b2的最小值是4.又对任意的正数a,b,不等式|2x-1|1a2+1b2恒成立,所以|2x-1|4,即-42x-14,解得-32x52.故实数x的取值范围是-32,52.(2)(基本不等式)因为a0,b0,且a2+b2=1,所以(1a+1b)(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2(a2+b2)2+2b5aa5b-2a2b2=(a2+b2)2+2a2b2-2a2b2=(a2+b2)2=1.
