1、四川省南充市西南大学南充实验学校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题.（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的.）1命题“，”的否定是（ ）A， B，C，D，2直线（为常数）的倾斜角为（ ）ABCD3自2019年12月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩。我市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为件，件，件为了解它们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了件，则（）ABCD4直线与平行，则的值等于( )A B C D5若动点满足，则动点的轨迹是()A线段 B圆 C椭圆 D双曲线 6与的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则的值为（ ）ABCD或7函数的图象大致是（ ）ABCD 8若
3、执行如图所示的程序框图，输出的值为（）AB C3D29椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）A4B8C3D210.已知双曲线(，)的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A B C D11已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )ABCD12 长方体中，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）A BCD二、 填空题。（共4小题，每小题5分，共20分）13函数在点处的切线方程为_14.某学生一学期的5次模拟考试中数学平均成绩70，物理平均成绩68.该班主任老师通过研究发现该学生的数学成绩和物
4、理成绩具有线性相关关系，现已知其线性回归方程为，则根据此线性回归方程预测该学生期末考试中数学成绩得90分时的物理成绩为_15.在区间上随意选择两个实数，则满足的概率为_.16若，为自然数，则下列不等式：；，其中一定成立的序号是_三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答应写出文字说明及演算步骤）17（本小题满分10分）已知：，：.（1）若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）2019年双“十一”结束后，某网站针对购物超过800元的购买者10000者进行调查，得到如下统计表：（1） 求的值；（2） 从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人
5、，再在这7人中随机取出2人，求取到的2人中年龄在、内各一人的概率.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知经过点，且圆心C在直线上，（1）求的方程；（2）设直线与相交于P、Q两点为坐标原点，若，求实数的值.21（本小题满分12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.22（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有
6、且只有一个零点，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题.123456789101112DBDCABCACBAD二、填空题13. 14. 75 15. 16. .三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答应写出文字说明及演算步骤）17（本小题满分10分）已知：，：.（1）若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解析：（1）：，解得或.（2分）故的取值范围为.（4分）（2）当真时，记，当为真时，记因为是的充分不必要条件所以是的充分不必要条件，所以.（6分）即，解得.（8分）故实数的取值范围为.（10分）18. （本小题满分12分）2019年双“十一”结束后，某网站针对购
7、物超过800元的购买者 10000人进行调查，得到如下统计表：（1）求的值；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，再在这7人中随机取出2人，求取到的2人中年龄在、内各一人的概率.解析：（1）因为参与调查的总人数为10000人，由表中数据可得，所以（人）.（3分）（2）由（1）知年龄在的购物者由4000人，年龄在的购物者由2000人，年龄在的购物者由1000人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，年龄在的购物者应抽取4人，用、表示，年龄在的购物者应抽取2人，用、表示.年龄在的购物者应抽取1人，用表示.6分所以在这7人中随机取出2人所有可能的情况有：共21种情况，.9分其中取到
8、的2人中在、内各一人有：，共2种情况，.10分由古典概型的计算公式，所求的概率为.12分19（本小题满分12分）19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的正弦值.【解析】（1）证明：记的中点为，连接，.因为分别为的中点，则，且.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，.3分则.又平面，平面，所以平面.6分（2）以为原点，分别以，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则令，则.8分设平面的法向量为，则令，则.10分，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.12分20.（本小题满分12分
9、）已知经过点，且圆心C在直线上，（1）求的方程；（2）设直线与相交于P、Q两点为坐标原点，若，求实数的值；解析：（1）设圆心，半径为因为经过点，所以.（2分）即，.（4分）解得，所以的方程是.（6分）（2）设与的夹角为，则.所以，.（8分）所以圆心到直线的距离，又.（10分）所以.（12分）21（本小题满分12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.21.解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，则，.（2分）由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦
10、点，实轴长为4的椭圆，轨迹的方程为.（4分（2）当或的斜率不存在时四边形的面积，.（6分）当两条直线的斜率都存在时，设的斜率为，则的斜率为，则的方程为，的方程为，联立方程组，得，由韦达定理得.（8分）设，则，同理可得，.（10分）当且仅当，即时等号成立.由于，因此当时，四边形的面积取得最小值为.（12分）另解一：.当即时等号成立.（10分）由于，因此当时，四边形的面积取得最小值为.（12分）22（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【解析】：（1），.（2分）当时，恒成立，的单调递增区间为.（3分）当时，令，解得，当时，；当时，.（4分）的单调递减区间为，单调递增区间为.（5分）（2）当时，单调递增，有唯一零点，符合题意；.（6分）当时，在处取得最小值，（）当，即时，符合题意；.（7分）（）当，即时，且，存在，使得，不符题意；.（8分）（）当，即时，设，则，单调递增，即，.（9分），.（10分）存在，使得，不符题意；.（11分）综上，a的取值范围是.（12分）
