1、数学试卷 第 I 卷 选择题（共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“x0”是“20 xx”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设 Ax|x0，Bx|x 1,或 x0，判断集合 A，B 的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案【详解】设 Ax|x0，Bx|x 1,或 x0，A B，故“x0”是“20 xx”成立的充分不必要条件 故选 A【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟
2、练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键 2.命题“0 x，都有20 xx”的否定是（）A.0 x，使得20 xx B.0 x，使得20 xx C.0 x，都有20 xx D.0 x，都有20 xx【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特征命题，任意变存在，再对结论进行否定即可.【详解】“0 x，都有20 xx”的否定是：0 x，使得20 xx.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，在否定过程中注意量词的改变，以及对结论否定时注意“”变“”，是概念题，属于基础题.3.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A.23 与 26B.
3、31 与 26C.24 与 30D.26 与 30【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.【详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31，又由中位数的定义，可得数据的中位数为26，故选 B【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是圆22680 xyx 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为()A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)【答案】D【解
4、析】圆22680 xyx，化为一般式可得2231xy，故其圆心为 3 0（，），椭圆22221(0)xyabab的 一 个 焦 点 为3 0F，得3c，又 短 轴 长 为 28b，得4b，225abc，可得椭圆的左顶点为5,0，故选 D.5.下列命题正确的是（1）命题“xR，20 x”的否定是“0 xR，020 x”；（2）l 为直线，为两个不同的平面，若l，则/l；（3）给定命题 p，q，若“pq为真命题”，则p是假命题；（4）“1sin2”是“6”的充分不必要条件 A.（1）（4）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐个命题进行判定，对于（1）结合全称
5、命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用56 可以判定.【详解】对于（1）“xR，20 x”的否定就是“0 xR，020 x”，正确；对于（2）直线l 可能在平面 内，所以不能得出/l，故不正确；对于（3）若“pq为真命题”则,p q 均为真命题，故p是假命题，正确；对于（4）因为6 时可得1sin2，反之1sin2 不能得出6，故“1sin2”是“6”的必要不充分条件,故不正确.故选 D.【点睛】本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识拼盘.6.在长方体1111ABCDABC D
6、中，2ABBC，1AC 与平面11BBCC 所成的角为30，则该长方体的体积为（）A.8B.6 2C.8 2D.8 3【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCDABC D，利用题中条件，得到130AC B，根据2AB，求得12 3BC，可以确定12 2CC，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCDABC D中，连接1BC，根据线面角的定义可知130AC B，因2AB，所以12 3BC，从而求得12 2CC，所以该长方体的体积为2 2 2 28 2V ，故选 C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为
7、长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.7.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为 M，根据题意，得到
8、新农村建设后的经济收入为 2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入我 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58
9、%50%，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确；故选 A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.8.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A.13B.12C.23D.56【答案】C【解析】试题分析：将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为 23，选 C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难
10、度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b ab同时增加(0)m m 个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C，则（）A.对任意的,a b，12eeB.当ab时，12ee；当ab时，12eeC.对任意的,a b，12eeD.当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D【解析】依题意，因为，由于，所以当时，所以 12ee；当时，而，所以，所以12ee所以当ab时，12ee；当ab时，12ee考点：双曲线的性质，离心率10.已知正四棱柱1111ABCDABC D
11、中，12AAAB，则 CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A.23B.33C.23D.13【答案】A【解析】试题分析：设1AB 112,5BDBCDC，1BDC面积为 3211C BDCCBCDVV13112232323dd 2sin3dCD考点：线面角11.已知椭圆22221(0)xyabab上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若AFBF，设ABF，且,6 4 ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A.2,312B.2,12C.23,22D.36,33【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得 A 在圆上，解得 A 点横坐标，再根据条件确定 A 横坐标满足条件，
12、解得离心率.【详解】由题意得OAOBOFc，所以 A 在圆222=xyc上，与22221xyab联立解得22222()Aa cbxc，因为ABF，且,6 4 ，所以22 sin22 sin()2 sin,AAaacac acAFcexcxceee 因此2222222()()()acacbacece，解得22222222(2)()(2)2()accbacaccaac，即222,20ac acac，即2212,120312eeee ，选 A.【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.12.如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)xyCabab左、右焦点，过2F 的直
13、线与双曲线C 交于,A B 两点若11:3:4:5ABBFAF，则双曲线的渐近线方程为（）A.2 3yx B.2 2yx C.3yx D.2yx 【答案】A【解析】【分析】设1123,4,5,ABBFAFAFx，利用双曲线的定义求出3x 和 a 的值，再利用勾股定理求c，由byxa 得到双曲线的渐近线方程.【详解】设1123,4,5,ABBFAFAFx，由双曲线的定义得：345xx，解得：3x，所以2212|464 13FF 13c，因为2521axa，所以2 3b，所以双曲线的渐近线方程为2 3byxxa .【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到
14、双曲线的定义，考查运算求解能力.第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n _【答案】63【解析】2160063.1800nn 14.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 【答案】72【解析】【分析】用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是5 个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3 个奇数中任选1个填入个位,其它4 个数在4 个位置上全排列即可.【详解】要
15、组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5 中的一个数，共有 3 种排法，然后还剩4 个数，剩余的4 个数可以在十位到万位4 个位置上全排列，共有4424A 种排法，由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有3 2472个.故答案为：72.【点睛】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.15.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M 和 N 分别为11AB 和1BB 的中点，那么直线 AM 与CN 所成角的余弦值
16、_.【答案】25【解析】【分析】如图，设 AB,1CC 的中点分别为 E,F,连接11,E BBF EF,证明1EB F为直线 AM 与CN 所成角或补角，再利用余弦定理求解.【详解】如图，设 AB,1CC 的中点分别为 E,F,连接11,E BBF EF.由题得11|,|AMB E B F CN,则1EB F为直线 AM 与CN 所成角或补角.因为棱长为 1，则11152B EB F，162EF 由余弦定理得1556+2444cos555222EB F，所以直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证
17、能力，属于基础题 16.已知抛物线2:20C ypx p上一点到焦点 F 和点4,0 的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为_【答案】24yx【解析】【分析】利用抛物线的定义，求出未知数 p.【详解】根据抛物线的定义，P 到焦点与点4,0 的距离之和等于点 P 到准线的距离与到点4,0 的距离之和，其最小值为点4,0 到准线的距离，即452p，所以2p，所以抛物线方程为24yx.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力,数形结合思想.三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，其中 17 题 10 分，其他各题 12 分）17.已知命题:pxR，使2(1)10 xax
18、；命题:2,4qx，使2log0 xa.（1）若命题 p 为假命题，求实数 a 的取值范围；（2）若 pq为真命题，pq为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,3（2）1,1(3,)【解析】【分析】（1）若 p 为假命题，2(1)40a ，可直接解得 a 的取值范围；（2）由题干可知 p,q一真一假，分“p 真 q 假”和“p 假 q 真”两种情况讨论，即可得 a 的范围【详解】解：（1）由命题 P 为假命题可得：2(1)40a ，即2230aa，所以实数 a 的取值范围是1,3.（2）pq为真命题，pq为假命题，则 pq、一真一假.若 p 为真命题，则有1a 或3a，若q 为真命题
19、，则有1a.则当 p 真q 假时，则有3a 当 p 假q 真时，则有 11a 所以实数 a 的取值范围是 1,1(3,).【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 18.节能减排以来，兰州市 100 户居民月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图 1 求直方图中 x 的值；2 求月平均用电量的众数和中位数；3 估计用电量落在220,300 中的概率是多少？【答案】（1）0.0075（2）众数230，中位数224（3）0.55【解析】【分析】（1）由直方图的性质可得 20(0.0020.00950.0110.01
20、250.0050.002x5)1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240)内，设中位数为a，解方程0.45(220)0.01250.5y可得；（3）月平均用电量在220,300 中的概率是1(0.0020.00950.011)20p 详解】解：（1）依题意，20(0.0020.00950.011 0.01250.0050.002x5)1，解得0.0075x （2）由图可知，最高矩形的数据组为220,240，所以众数为 2202402302 160,220)的频率之和为0.0020.00950.011 200.45，依题意，设中位数为 y，则0.45
21、220 0.01250.5y，解得224y，故中位数为224 （3）由频率分布直方图可知，月平均用电量在220,300 中的概率是 1 20(0.0020.00950.011)0.55p 【点睛】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题 19.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱.（1）摸出的 3 个球
22、为白球的概率是多少？（2）摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少？（3）假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30 天计）能赚多少钱？【答案】（1）005；（2）045；（3）1200.【解析】【分析】（1）先列举出所有的事件共有 20 种结果，摸出的 3 个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有 20 种结果，摸出的 3 个球为 1 个黄球 2 个白球从前面可以看出共有 9 种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有 20 种结果，根据摸得同
23、一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.【详解】把 3 只黄色乒乓球标记为 A、B、C，3 只白色的乒乓球标记为 1、2、3 从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共 20 个.(1)事件 E=摸出的 3 个球为白球，事件 E 包含的基本事件有 1 个，即摸出 123 号 3 个球，P（E）=120=005.(2)事件 F=摸
24、出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球，事件 F 包含的基本事件有 9 个，P（F）=920=045.（3）事件 G=摸出的 3 个球为同一颜色=摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球，P（G）=220=01，假定一天中有 100 人次摸奖，由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生有 10 次，不发生 90 次 则一天可赚，每月可赚 1200 元 考点：1互斥事件的概率加法公式；2概率的意义 20.如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x (单位:万元)和利润 y (单位:十万元)之间的关系
25、,得到下列数据:x2 3 4 5 6 8 9 11 y1 2 3 3 4 5 6 8 请回答:（）请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系(当0.81r 时,说明 y 与 x 之间具有线性相关关系);（）根据 1 的判断结果,建立 y 与 x 之间的回归方程,并预测当24x 时,对应的利润 y 为多少(,b a y 精确到0.1).附参考公式:回归方程中ybxa中 b 和 a 最小二乘估计分别为1221niiiniix ynx ybxnx,aybx,相关系数12211niiinniiiix ynx yrxxyy.参考数据:88882221111241,356,8.25,6i
26、iiiiiiiix yxxxyy.【答案】（I）详见解析；（II）0.7.20yx，16.6 万元.【解析】【分析】（）根据公式得到相应的数据即可；（II）结合第一问可求求解出回归方程，代入 24 可得到估计值.【详解】（）由题意得6,4xy.又88882221111241,356,8.25,6iiiiiiiiix yxxxyy,所以818822118241 8 6 40.990.818.25 6iiiiiiix yxyrxxyy ,所以 y 与 x 之间具有线性相关关系.（II）81822218241 8 6 40.73565 68iiiiix yxybxx （II）因为40.7 60.2a
27、ybx,所以回归直线方程为0.7.20yx,当24x 时,0.70.20.7 240.21 66.yx,即利润约为16.6 万元.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.21.如图，在三棱锥 PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O 为 AC的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC
28、上，且二面角 MPAC为30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为4APCPAC，O 为 AC 的中点，所以OPAC，且2
29、3OP 连结OB 因为22ABBCAC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且1,22OBAC OBAC由222OPOBPB知 POOB 由,OPOB OPAC知 PO 平面 ABC （2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3)OBACPAP取平面 PAC 的法向量(2,0,0)OB uuur 设(,2,0)(02)M aaa，则(,4,0)AMaauuur 设平面 PAM 的法向量为(,)nx y z 由0,0AP nAM n得22 30(4)
30、0yzaxa y，可取2(3(4),3,)naaa 所以2222 3(4)cos2 3(4)3aOB naaa 由已知得3cos2OB n 所以2222 3|4|322 3(4)3aaaa解得4a (舍去)，43a 所以8 3 4 34,333n 又(0,2,2 3)PC，所以3cos,4PC n 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab
31、，点3(3,)2M为椭圆上一点,且sin 3ba.（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知两条互相垂直的直线 1l，2l 经过椭圆2222:1xyC ab的右焦点 F，与椭圆C 交于,A BM N与四点，求四边形 AMBN 面积的的取值范围.【答案】（1）22143xy；（2）288,649【解析】【分析】（1）由题意可得22222323314baababc，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线 l1，l2 的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围【详解】（1）因为sin 3ba，所以 b3=a2，又223
32、314ab，解得 a24，b23，故椭圆 C 的方程为22143xy；（2）当直线 l1 的方程为 x1 时，此时直线 l2 与 x 轴重合，此时|AB|3，|MN|4，四边形 AMBN 面积为 S12|AB|MN|6 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时，设过点 F（1，0）的两条互相垂直的直线 l1：xky+1，直线 l2：x1k y+1，由 xky+1 和椭圆2243xy 1，可得（3k2+4）y2+6ky90，判别式显然大于 0，y1+y22634kk，y1y22934k，则|AB|21k221212()41yyy yk222212 112 13434kkkk，把上式中的 k 换为1
33、k，可得|MN|2212 134kk则有四边形 AMBN 面积为S12|AB|MN|122212 134kk22222212 172(1)343443kkkkk，令 1+k2t，则 3+4k24t1，3k2+43t+1，则 S222227272727211114931 41121()12()24ttttttttt ，t1，01t 1，y（112t）2494，在（0，12）上单调递增，在（12，1）上单调递减，y（12，494，S 28849，6）故四边形 PMQN 面积的取值范围是 288,649【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于中档题
