1、第6节空间向量及其运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示；4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a0)与b共
2、线的充要条件是存在实数，使得ba.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间
3、任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，
4、b0)cosa，b5.空间两点间的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|.常用结论与易错提醒1.ab0a0或b0或a，b.2.ab0不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为0.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若ab0，则a，b是钝角.()解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确
5、；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直解析由题意得(3，3，3)，(1，1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点.ABCD.答案B3.(选修21P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若a，b，1c，则下列向量中与相等的向量是()A.abc B.abcC.abc D.abc解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，11()c(b
6、a)abc.答案A4.(2017上海卷)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则的坐标为_.解析A(4，0，0)，C1(0，3，2)，(4，3，2).答案(4，3，2)5.已知O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.解析P，A，B，C四点共面，t1，t.答案6.已知i，j，k为两两垂直的单位向量，非零向量aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，若向量a与向量i，j，k的夹角分别为，则cos2cos2cos2_.解析设i，j，k为长方体的共顶点的三条
7、棱的方向向量，因非零向量aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，故a可为长方体体对角线的方向向量，则xEA，yEA，zEA，所以cos cosxEAcosCAE，cos cosyEAcosDAE，cos coszEAcosEAB，cos2cos2cos21.答案1考点一空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.规律方法(1
8、)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算.【训练1】 如图，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)解析()()(abc).答案B考点二共线定理、共面
9、定理的应用【例2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足().(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.解(1)由题意知3，所以()()，即，所以，共面.(2)由(1)知，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面.从而点M在平面ABC内.规律方法(1)证明空间三点P，A，B共线的方法(R)；对空间任一点O，xy(xy1).(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或或).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】 (1)若A(1，2
10、，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则mn_.(2)已知空间四点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则t的值为_.解析(1)(3，1，1)，(m1，n2，2).A，B，C三点共线，m7，n4，mn3.(2)(1，1，0)，(1，0，2)，(3，2，t2)，A，B，C，D四点共面，共面.设xy，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，则解得t的值为0.答案(1)3(2)0考点三空间向量数量积及其应用【例3】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求与
11、夹角的余弦值.解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|，即AC1的长为.(2)bca，ab，所以|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，所以cos，.即与夹角的余弦值为.规律方法利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.【训练3】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是其内切球O的一条直径，E是正方体表面上一点，求的最大值.解由
12、极化恒等式的三角形形式得(2)22.又因为MN是其内切球O的一条直径，E是正方体表面上的动点，所以|2，|，所以(2)242，所以的最大值为2.基础巩固题组一、选择题1.已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，又，0，sin，.答案B3.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值
13、是()A.1 B. C. D.解析由题意得kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得k.答案D4.已知空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为，90，因为0，0，所以.答案C5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2co
14、s 60a2cos 60)a2.答案C6.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析，所以A1MD1P，又D1P平面DCC1D1，D1P平面D1PQB1，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1，由线面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.正确.答案C二、填空题7.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c的夹角
15、为_.解析由题意得(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，0b，c180，b，c120.答案1208.已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，a与b夹角的余弦值为_；若a(ab)，则_.解析a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b；由题意a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，1470，2.答案29.已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则x_，y_，z_.解析由条件得解得x，y，z4.答案410.设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使0成立的点M的个数有_.解析设M(a，b，
16、c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5).则(xka，ykb，zkc)，由0得存在唯一点M.答案1三、解答题11.如图，已知平行六面体ABCDABCD.试用表示.解平行六面体的六个面均为平行四边形，在ABCD中，在ABBA中，在ADDA中，()()()2().又在ABCD中，在ACCA中，2.12.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)
17、或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.能力提升题组13.在空间四边形ABCD中，()A.1 B.0 C.1 D.不确定解析如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案B14.若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A
18、.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z).则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案B15.已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_.解析点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.即当时，取得最小值.此时.答
19、案16.已知空间向量，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60.点G为ABC的重心，若xyz，x，y，zR，则xyz_.|_.解析因为A，B，C，G四点共面，所以xyz1，则z1xy，()()()PC()，xyz，|.答案117.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，.(3)证明A1，E，F，C1四点共面，共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.18.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)的长；(3)与所成角的余弦值.解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，(a)a2ac，(2)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(3)bc，ba，cos，.
