1、第十二章 极限与导数第 讲 考 点搜 索导数的概念及其几何意义几种常见函数的导数公式导数的四则运算法则，复合函数的求导法则高 考猜 想1.导数的基本运算，求函数的导数.2.导数条件的转化与可导条件分析.3.导数与切线的综合应用.1.对于函数y=f(x)，记y=f(x0+x)-f(x0)，如果当x0时，有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作f(x0)或y|x=x0，即f(x0)=.2.如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，则对(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，yx0limxyx000()()
2、limxf xxf xx这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，称这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的，简称导数，记作f(x)或y，即f(x)=.3.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是.相应地，切线方程为.4.常见函数的导数导函数f(x0)y-y0=f(x0)(x-x0)0()()limxf xxf xx(1)C=(C为常数)；(2)(xn)=(nQ);(3)(sinx)=;(4)(cosx)=;(5)(lnx)=;(6)(logax)=(a0，a1);(7)(ex)=;(8)(ax)=(a0，a1).0 nxn-1 cosx-sinxexaxlna1x1ln
3、xa5.导数的四则运算法则(1)(uv)=;(2)(uv)=;(3)(uv)=(v0).6.设函数u=(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且f x(x)=.f(u)(x)uvuv+uv2u vuvv 1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为()A.6 B.18C.54 D.81解：因为s=6t2，所以s|t=3=632=54.C 2.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为()A.1B.2C.3D.4解：因为y=2x-1，所以y|x=-2=-5.又P(
4、-2，6+c)，所以,解得c=4.D 652c 3.若f(x0)=2,则等于()A.-1 B.-2C.1 D.解：A 000lim2kfxkfxk120000000lim211lim1.22kkfxkfxkfxkfxfxk 题型1 求函数的导数1.求下列函数的导数：解：1sin1;2sin3 cos3.1cosxfxfxxxx 222(1sin)1cos(1sin)(1cos)11coscos1cos1sinsinsincos1.1cos1cosxxxxfxxxxxxxxxx 332322(sin)cos3sin(cos3)3sincoscos3sin(sin3)33sin(coscos3si
5、nsin3)3sin2 cos4.fxxxxxxxxxxxxxxxxx 点评：掌握常见函数的导数是求函数的导数的关键，注意函数的和、差、积、商的导数在解题中的应用.涉及到复合函数的导数注意把复合函数分解为几个基本函数.求下列函数的导数：2211;2ln cot;23ln1;4(01).xxfxxxxfxfxxxabfxaaab，解：(2)则 2212222222211(1)111(1)21212.2 11fxxxxxxxxxxxxxxx cos 2cot 2sin 2xxux令，2222(cos)sincos(sin)2222sin 21 sin12cos21222.sin2sin22xxxx
6、uxxxxxx 211(ln)()2sin 2xfxuuxu 所以2sin112().sincos2sin22xxxx (3)令则21uxx，1222222211(1)11(1)211.11uxxxxxxxxx 222222111(ln).11()()()4ln()ln2ln.xxxxxxxxxxxxxxxfxuuuxxababab abfxabaaababaaa baabab 所以题型2 在导数条件下求参数的值2.已知函数若存在x0R，使得f(x0)=0且f(x0)=0，求a的值.解：因为f(x)=3x2+2ax，令f(x)=0，则3x2+2ax=0，所以x0=0或x0=-.324().3a
7、fxxaxa为实数常23a当x0=0时，由f(x0)=0，可得所以a=0.当x0=-时，由f(x0)=0，可得即a3-9a=0，所以a=0或a=3.综上分析，a=0或a=3.23a403 a，3384402793aaa，点评：求参数的值或取值范围的问题，仍是转化题中的条件，得到相应参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式得到所求的问题的解.已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、d、eR)为偶函数，它的图象过点A(0，-1)，B(1，0)，且f(1)=-2，求函数f(x)的表达式.解：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立.即a(-x)4+b(-x)
8、3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+恒成立，所以b=0，d=0，即f(x)=ax4+cx2+e.又由图象过点A(0，-1)，可知f(0)=-1，即e=-1.因为f(1)=-2且f(1)=0，所以4a+2c=-2且a+c-1=0，解得a=-2，c=3.所以f(x)=-2x4+3x2-1.3.已知曲线求：(1)曲线在x=2处的切线方程；(2)曲线过点P(2，4)的切线方程.解：(1)因为y=x2,所以在x=2处的切线的斜率k=y|x=2=4.又x=2时，所以曲线在x=2处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.题型3 利用导数求切线方程31433yx，12
9、44333y ，(2)设曲线与过点P(2，4)的切线相切于点则切线的斜率k=y|x=x0=x02.所以切线方程为即因为点P(2，4)在切线上，所以即31433yx，30014()33A xx，3200014,33yxxxx230024.33yxxx23002442,33xx3200340,xx所以所以所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.点评：求曲线在某点处的切线方程的思路是：先求得函数在此点处的导数值，即为切线的斜率，然后根据切点的坐标，再用点斜式可得切线方程.若是经过某点的切线，注意先设切点坐标，然后写出切线方程，
10、再把已知点代入切线方程求得切点的横坐标.322000440,xxx2000014110,xxxx(2010全国课程标准卷)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为()A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2解：易知点(-1，-1)在曲线上，即为切点，又由于f(x)=，故f(-1)=，即 切 线 的 斜 率 为 2，从 而 切 线 方 程 为y+1=2(x+1)，化简可得y=2x+1.22 2xxx 22 2x 212 2 已知函数f(x)在点x=1处连续，且求f(1).解：因为f(x)在点x=1处连续，所以又参考题题型函数的连续性与导数的关系分析 1lim21x
11、fxx，1lim1.xfxf 1lim21xfxx，所以即f(1)=0.所以 1111limlim11lim(1)lim0201xxxxfxfxxxfxxx，011(1)(1)1lim1limlim2.11xxxfxffxfxffxxx求证：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续.证明：由已知，得0000()()lim()xf xxf xfxx，所以所以命题得证.0000000000000000limlim()lim()()()()lim()()()limlim()0.xxxxxxxfxf xxf xxfxf xf xxf xxf xxf xxf xxf xxf
12、xfxfx1.f(x)在点x0处的导数f(x0)也可理解为：这相当于x=x-x0，所以增量x可用其他形式替代，如-t，2t等.但在转换时，必须与导数概念保持一致，如事实上，000limxxfxfxxx，0000lim()tfxtfxfxt，0000000limlim.ttfxtfxfxtfxfxtt 2.求函数f(x)的导数是一个最基本的题型，利用求导法则将f(x)的导数转化为基本函数的导数，再套公式化简整理，是解决这类问题的基本思路.有时可先对f(x)作适当变形，再求导.3.复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.求解时要正确
13、分析函数的复合过程，选好中间变量，尤其是涉及多个函数复合而成的函数，求导时首先要弄清它是几层复合关系，然后由外而内，逐层求导.必要时可通过换元，使复合关系更加明确、具体.同时注意在求导后，要把中间变量换成自变量的函数.4.求f(x0)的值，一般先求f(x)，然后再求当x=x0时导函数的值.有时也可直接利用导数的定义，转化为求函数在某个点处的极限.5.判断函数f(x)在点x=x0处是否可导，可转化为判断是否存在.若存在，则这个极限值就是f(x)在x0处的导数.如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数f(x)在点x0处连续，但其逆命题不成立.即若函数y=f(x)在点x0处连续，那么f(x)在x
14、0处不一定可导(例如函数y=|x|在点x=0处连续，但无导数)，它可直观地理解为连续函数对应的曲线在点x0处不一定有“切线”.000limxxfxfxxx6.求过某个点M的曲线的切线方程，关键是求切线的斜率，从而转化为求曲线在切点处的导数.但必须注意的是，先要明确点M是否在曲线上.若点M在曲线上，则它就是切点，否则，要另设切点坐标，切不可把函数在点M处的导数误认为是切线的斜率.7.由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程可按如下步骤求得：第一步，求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率.第二步，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.
