1、（全国卷）四川省南充市仪陇宏德中学 2021 届高考数学模拟卷（一）理 1、已知集合21|2740,|2xAxxxBy y,则()RAB()A.|4x x B.|04xx C.|0 x x D.1|2x x 2、复数1iR1iaza在复平面内对应的点在虚轴上，则 a 等于()A2 B 1 C1 D 2 3、设样本数据1210,x xx 的平均数和方差分别为 1 和 4,若iiyxa(a 为非零常数,1,2,10)i,则1210,y yy 的平均数和方差分别为()A.1,4a B.1,4aa C.1,4 D.1,4a 4、已知定义在 R 上的函数 f x 对于任意的实数 x 都满足 3f xf
2、x，且 当0,3x时，1e3xf x，则1228f()A 4 B4 C3e3 D1227e3 5、平面向量a 与b 的夹角为60,2,0,1ab,则2ab 等于()A.2 2 B.2 3 C.12 D.10 6、已知数列 na，满足111naa，若112a，则2020a=（）A2 B2 C-1 D1 7、6(2)()xyxy的展开式中,43x y 的系数是()A.-10 B.-50 C.50 D.10 8、执行如图所示的程序框图,若输出结果为 2019505,则中可填()A.2019?i B.2019?i C.2019?i D.2019?i 9、已知奇函数 3sincos,02f xxx 对任
3、意Rx都有 02f xfx，现将 f x 图象向右平移 3 个单位长度得到 g x 图象，则下列判断错误的是()A函数 g x 在区间,12 2 上单调递增 B g x 图象关于直线712x对称 C函数 g x 在区间,6 3 上单调递减 D g x 图象关于点,03 对称 10、在各棱长均相等的直三棱柱111ABCA B C中,已知 M 是棱1BB 的中点,N 是棱 AC 的中点,则异面直线1AM 与 BN 成角的正切值为()A.3 B.1 C.63 D.22 11、已知函数1()sin 2sin3f xxax,且对于任意的12,(,)x x ,121212()(),1f xf xxxxx恒
4、成立,则实数 a 的取值范围是()A.1 1,4 4 B.1 1,3 3 C.1 1,2 2 D.1,1 12、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左,右顶点分别为12,A A,c 为椭圆 C 的半焦距,过1A的直线与圆222xyc切与点 N,与双曲线2222:1xyE ab 在第一象限交于点 M,满足12MAMA,若椭圆 C 的离心率为1e,双曲线 E 的离心率为2e,则211ee的值为()A.165 B.5 C.6 55 D.2 5 13、如图是一个射击靶的示意图,圆形靶的靶心为 O,半径为 2 米,一个运动员在练习射击的时候,在靶上画出了一个标志胜利的V形轴对称图案 AOBC,其中
5、,60AOB,点,A B 在圆形靶的边缘上,点C距离靶的边缘的最短距离为1米.现他朝靶上任意射击一次,没有脱靶,则其命中靶中V形图案的概率为_.14、已知直线(:2480)lxy交22:25O xye于 A B,两点，C 为 l 外一动点，且2ACBC，则 AB 的最小值为 ；当 AB 最小时，ABC面积的最大值为 .15、已知数列 na的前 n 项和122nnnSa，若不等式2235nnna 对n N 恒成立，则整数 的最大值为_ 16、已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的,且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直,把这个机械零件打解成球形,该球的半径最大为 1,设这两个圆锥的高分别为1
6、2,h h,则12hh的最小值为_.17、在 ABC中，内角 A B C,所对的边分别为 a b c,，若2a，coscos2 cos0aCcAbB.（1）求 B；（2）若 BC 边的中线 AM 长为5，求 ABC的面积.18、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM 平面ABCD.2AD，1AM ，DEAB 且点 E 为 AB 的中点 MECABDN（1）求证:/AN平面 MEC；（2）求 ME 与平面 MBC 所成角的正弦值；（3）在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 PECD的大小为3？若存在，求出 AP 的长；若不存在，请说明理由 19、如图,
7、已知抛物线2xy,点1 1,2 4A,3 9,2 4B,抛物线上的点13(,)22P x yx.过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围;(2)求 APPQ的最大值.20、高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在 2018 年这一年内从 A 市到 B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本得到下表(单位：人次)：满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分（满意）12 1 20 2 20 1 5
8、分（一般）2 3 6 2 4 9 0 分（不满意）1 0 6 3 4 4（1）在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次，记其中老年人出行的人次为 X以频率作为概率求 X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从 A 市出发到 B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.21、已知函数 cos2f xx，xg xefx，其中 e 为自然对数的底数.(1)求曲线 yg x在点(0)0g,处的切线方程.(2)若对任意,02x 不等式 g xx f xm 恒成立，求实数 m 的取
9、值范围.(3)试探究当,4 2x 时，方程 g xx f x 的解的个数，并说明理由.22、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为212212xtyt （t 为参数）在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为4cos（）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程（）若点 P 坐标为1,1，圆 C 与直线 l 交于,A B 两点，求 PAPB的值 23、已知函数()2 2121f xxx.(1)画出函数()f x 的大致图象，并求出函数()f x 的值域；(2)若不等式()3 21f xax恒成立,求实数a 的取值范围.答案以及解析 1 答案及解析：
10、答案：A 解析：21|2740|42Axxxxx,1|2|0 xBy yy y|0RBy y,所以()|4RABx x,故选 A.2 答案及解析：答案：D 解析：2i 1 i222i1i1i 1 i2aaaaz在复平面内对应的点的坐标为22,22a a 且在虚轴上，所以 20a，即2a .3 答案及解析：答案：A 解析：由题得:121010 1 10 xxx;222121011110 440 xxx,1210,y yy 的均值和方差分别为:均值121010yyyy 12101210()()()()1010 101101010 xaxaxaxxxaaa 方差222121010yyyyyy 222
11、1210()(1)()(1)()(1)10 xaaxaaxaa 2221210(1)(1)(1)4041010 xxx 故选 A.4 答案及解析：答案：A 解析：定义在 R 上的函数 f x 对于任意的实数 x 都满足 3f xf x，63f xf xf x，当0,3x时,1e3xf x，1228204 644fff 1 11e34f .故选：A.5 答案及解析：答案：B 解析：2222244122 3ababaa bb，故选 B 6 答案及解析：答案：A 解析：数列 na满足1111,12nnaaa，23411112,1,11211212aaa ，512112a 7 答案及解析：答案：D 解
12、析：6()xy展开式中33x y 的系数为336(1)20C ,42x y 的系数为226(1)15C,6(2)()xyxy展开式中,43x y 的系数为 202 15 10,故选 D.8 答案及解析：答案：B 解析：21224114()(1)2(1)1iiiiai ii iii,由程序框图知 S 表示数列12iia 的前 i 项和,于是111111144(1)4()4().4()2233411iSiii.因为输出结果为 2019505,所以420191505ii,2019i,故选 B.9 答案及解析：答案：C 解析：3sincosf xxx2sin6x,f x是奇函数,6kkz,6kkz,2
13、,6 ,2sinf xx.02f xfx,2f xfx ,2f xfxf x,f x的最小周期为2,2T,2sin2f xx,22sin 23g xx.易知 g x 在7,12 12 上单调递增,在5,12 12 上单调递减,所以 A 正确,C 错误;由22,32xkkz,得 g x 的对称轴方程为7,122kxkz,所以 B 正确;由22,3xkkz,得,32kxkz,g x的对称中心为,023k (kz),所以 D 正确.10 答案及解析：答案：C 解析：如图,取1AA 得中点 P,连接,PN PB,则由直三棱柱的性质可知1/A MPB,则PBN为异面直线1AM 与 BN 所成的角(或其补
14、角).设三棱柱的棱长为 2,则2,5,3PNPBBN,所以222PNBNPB,所以90PNB.在 RtPBN中,26tan33PNPBNBN,故选 C.11 答案及解析：答案：B 解析：因为对于任意的12,(,)x x ,121212()(),1f xf xxxxx恒成立.所以1211221212()()()()10f xf xf xxf xxxxxx 恒成立,则1()()sin 2sin3g xf xxxaxx在(,)上单调递减,故2245()cos2cos1coscos0333g xxaxxax 在(,)上恒成立,令cosxt,则245 1,1,033ttat 在 1,1上恒成立 令245
15、()(1,1)33h ttatt,则(1)0(1)0hh,解得1133a 12 答案及解析：答案：D 解析：如图,由已知得222abc,则12,A A 分別为双曲线2222:1xyE cb 的左、石焦点.连接 ON,由直线1AM 与圆222xyc切于点 N,得 ONc,从而1A Nb,12AMb,222A MONc.由双曲线的定义,得122AMA Mc,即 222bcc,2bc,从而椭圆的离心率11e5ca,双曲线的离心率2e5ac，所以211e2 5e,故选 D.13 答案及解析：答案：14 解析：连接OC,由题意可知,2,1,150OAOCAOC,由三角形面积公式得112 1 sin150
16、22AOCS ,由对称性可知,靶中“V”形图案的面积为 1.又圆形靶的面积为 4,所以由几何概型的概率计算公式得命中靶中“V”形图案的概率为 14.14 答案及解析：答案：6；12 解析：由()2480 xy得 4280 xyxy，则40280 xyxy，得40 xy，所以直线()2480 xy经过定点0(4)M,，设 O 为坐标原点，若 AB 最小，则OMAB，此时22 2546AB.设3(4)A,，3(4,)B，()C x y,，由2ACBC，可得 222243243xyxy，化简得点 C 的轨迹方程为224516xy，则点 C 的轨迹是圆心为(4)5,，半径为 4的圆，易知圆心(4)5,
17、在直线 AB 上，因而 C 点到 AB 的最大距离为 4，故ABC面积的最大值为16 4122 .15 答案及解析：答案：4 解析：当1n 时，21122Sa得14a，122nnnSa；当2n 时，122nnnSa，两式相减得1222nnnnaaa，得122nnnaa，所以11122nnnnaa 又1122a，所以数列2nna是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，12nnan，即1 2nnan 因为0na，所以不等式2235nnna，等价于2352nn 记232nnnb，2n 时，112121223462nnnnnbnnbn所以3n 时，13max31,8nnnbbbb 所以33375,58
18、88，所以整数 的最大值为 4 16 答案及解析：答案：2 2 解析：由题意可知,打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球,内切球的半径1R ,如图为这个组合体的轴截面示意图,圆 O 为内切球的轴截面,E F G H 分别为切点,连接,OA OB OC OD OE OF OG OH,由题意可知,ABBC ADDC,12,1AChh ROEOFOGOH,则AOBBOCCODAODABCDSSSSS四边形 即11111(22)()22222ABBCRABRBCRCDRADRABBCR ABBC 所以 ABBCABBC,由基本不等式可得2ABBCABBCABBC,则4AB BC,当且
19、仅当 ABBC时等号成立,所以222212()28hhACABBCAB BC,当且仅当 ABBC时等号成立,故12hh的最小值为 2 2.17 答案及解析：答案：（1）在 ABC中，sinsinsinabcABC，且 coscos2 cos0aCcAbB，sincossincos2sincos0ACCABB，sin12 cos0BB，又sin0B，2cos2B .B 是三角形的内角，34B.（2）在 ABM中，3154BMAMBABc，由余弦定理得2222cosAMcBMc BMB，2240cc，0c，2c.在 ABC中，2a，2c，34B，ABC的面积1sin12SacB.解析：18 答案及
20、解析：答案：（1）设 CM 与 BN 交于 F，连接 EF 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形，所以 F 是 BN 的中点 因为 E 是 AB 的中点，所以/ANEF 又 EF 平面 MEC，AN 平面 MEC，所以/AN平面 MEC （2）ADNM 是矩形，平面 ADNM 平面 ABCD，平面 ADNM平面 ABCDAD DN 平面 ABCD 如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则(0,0,0)D，(3,0,0)E,(0,2,0)C,(3,1,1)M,(3,1,0)B,(0,0,1)N 设平面 MBC 的法向量为1111(,)nx y z(0,2,1)MB(3,1,0)BC 1100MB
21、 nBC n2030yzxy 1(1,3,2 3)n (0,1,1)ME 11136cos,8|2 4ME nME nMEn ME 与平面 MBC 所成角的正弦值68 （3）设(3,1,)Ph，(3,2,0)CE,(0,1,)EPh 设平面 PEC 的法向量为1(,)nx y z 则1100CE nEP n，3200 xyyhz 令3yh，1(2,3,3)nhh 又平面 ADE 的法向量2(0,0,1)n 121221231cos,2|73nnn nnnh 解得，3 77h 3 717 在线段 AM 上不存在点 P，使二面角 PECD的大小为3 解析：19 答案及解析：答案：(1)由题易得 2
22、,P x x,1322x,故21141,1122APxkxx,故直线 AP 斜率的取值范围为1,1.(2)由题(1)知 2,?P x x,1322x,故211,24PAxx,设直线 AP 的斜率为k,则11:24AP ykxk,139:24BP yxkk,由112413924ykxkyxkk 222234981,2244kkkkQkk,故23432221,11kkkkkkkPQkk,又21,PAkkk ,故323322(1)(1)(1)(1)(1)(1)11kkkkkPA PQPA PQkkkk,即3(1)(1)PA PQkk,令3()(1)(1)f xxx,11x ,则22()(1)(24)
23、2(1)(21)fxxxxx,当112x 时,()0fx,当 112x 时,()0fx,故max127()216f xf,即 PA PQ的最大值为 2716.解析：20 答案及解析：答案：（1）设事件：“在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人”为 M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42，所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M（2）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2.因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人为老年人概率是 151755.所以0221
24、16(0)(1)525P XC，12118(1)(1)5525P XC，22211(2)()525P XC 所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 P 1625 825 125 故16812()0122525255E X .（3）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52 1012 511 011652121115,乘坐飞机的人满意度均值为：4 1014 5702241475,因为11622155，所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市.解析：21 答案及解析：答案：(1)依题意得 sinf xx，cosxg xex.
25、00cos0 1ge，cossinxxg xeex，01g，所以曲线 yg x在点(0)0g,处的切线方程为1yx.(2)原题等价于对任意,02x ，minmg xx f x 设 h xg xx f x，,02x .则 cossin sin cosxxh xexexxxcos1 sinxxexx ex，因为,02x ，所以cos0 xexx，1 sin0 xex，所以 0h x，故 h x 在,02 上单调递增，因此当2x 时函数 h x 取得最小值，22h；所以2m -，即实数 m 的取值范围是,2 .(3)设 H xg xx f x，,4 2x，当,4 2x 时，cossinsincos0
26、 xH xexxxxx，所以函数 H x 在 ,4 2 上单调递减，故函数 H x 在 ,4 2 上至多只有一个零点，又420424He ，022H ，而且函数 H x 在 ,4 2 上是连续不断的，因此，函数 H x 在 ,4 2 上有且只有一个零点即方程 g xx f x 只有一个解.解析：22 答案及解析：答案：（1）直线 l 的参数方程为212212xtyt （t 为参数）消去参数 t 可得：直线 l 的普通方程为：20 xy 圆 C 的方程为4cos即24 cos，可得圆 C 的直角坐标方程为：22(2)4xy （2）将212212xtyt 代入22(2)4xy得：22 220tt 得 12122 20,*20,tttt 则212121 2()44.PAPBttttt t 解析：23 答案及解析：答案：(1)因为()2 2121f xxx 所以123,211()61,22123,2xxf xxxxx 作出函数()f x 的大致图象如图所示 由图可知,函数()f x 的值域为 2,)(2)()3 21f xax,即 2 21213 21xxax 即 2 212 21xxa 即 21212axx因为 2121(21)(21)2xxxx 所以22a,即4a 所以实数 a 的取值范围为(,4)解析：
