1、章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上)1.若复数z满足zi1-i，则z_.【解析】法一：由zi1-i得z-1-1-i.法二：设zabi(a，bR)，由zi1-i，得(abi)i1-i，即-bai1-i.由复数相等的充要条件得即z-1-i.【答案】-1-i2.在复平面内，复数zi(13i)对应的点位于第_象限.【解析】zi(13i)i3i2-3i，复数z对应的点为(-3,1)在第二象限.【答案】二3.(2015全国卷改编)若a为实数，且(2ai)(a-2i)-4i，则a_.【解析】(2
2、ai)(a-2i)-4i，4a(a2-4)i-4i.解得a0.【答案】04.设z为纯虚数，且|z-1-i|1，则z_.【解析】设zbi(bR，b0)，则|z-1-i|(b-1)i-1|，(b-1)211，b1，则zi.【答案】i5.(2016辽宁三校高二期末)复数z满足方程|z-(-1i)|4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是_.【解析】设zxyi，由|z-(-1i)|4得|(x1)(y-1)i|4，即4，则(x1)2(y-1)216.【答案】(x1)2(y-1)2166.在复平面内，若复数(-6k2)-(k2-4)i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是_.【解析】由已知得4
3、k20)的模为，则复数z的共轭复数_.【解析】，且a0，a1，则z1-i，1i.【答案】1i11.已知复数z，则|z|_.【解析】z-i，则|z|.【答案】12.若复数z满足|z|2-2|z|-30，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是_.【解析】由|z|2-2|z|-30，得(|z|1)(|z|-3)0.|z|10，|z|-30，则|z|3.故x2y29.【答案】x2y2913.已知z112i，z2m(m-1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为_.【解析】z1z2(12i)m(m-1)im-2(m-1)2m(m-1)i(2-m)(3m-1)i，所以2-m3
4、m-1，即m，且能使2-m3m-10，满足题意.【答案】14.(2016阜宁调研)若复数zii2 014，则的模等于_. 【导学号：97220042】【解析】zii2014ii2-1i，则-1-i，(-1-i)-1-i-5(1i)-6-6i，|-6-6i|6，即的模为6.【答案】6二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知z，w为复数，(13i)z为实数，w，且|w|5，求.【解】设xyi(x，yR)，由，得z(2i)(xyi)(2i).依题意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(-x-7y)(7x-y)i.(13i)
5、z为实数.7x-y0.又|5，x2y250.由得或17i或-1-7i.16.(本小题满分14分)已知z，(1)求|z|；(2)若z2azb1i，求实数a，b的值.【解】(1)z1-i.|z|.(2)把z1-i代入z2azb1i，(1-i)2a(1-i)b1i，得：ab-(2a)i1i，解得所以实数a，b的值分别为-3,4.17.(本小题满分14分)已知复数z3bi(bR)，且(13i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若，求复数的模|.【解】(1)(13i)(3bi)(3-3b)(9b)i，(13i)z是纯虚数，3-3b0且9b0，则b1，从而z3i.(2)-i.|.18.(本小题满分16分)
6、已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2-cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值.【解】(1)zz2-z1-cos2-sin2i(cos 2-1)-1-2sin2i.(2)点P的坐标为(-1，-2sin2).由点P的直线yx上得-2sin2-，sin2，又(0，)，sin 0，因此sin ，或.19.(本小题满分16分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3-i.(1)求点C，D对应的复数；(2)求ABCD的面积.【解】(1)向量对应的复数为12
7、i，向量对应的复数为3-i，向量对应的复数为(3-i)-(12i)2-3i.又，点C对应的复数为(2i)(2-3i)4-2i.，向量对应的复数为3-i，即(3，-1).设D(x，y)，则(x-2，y-1)(3，-1)，解得点D对应的复数为5.(2)|cos B，cos B.sin B，SABCD|sin B7，平行四边形ABCD的面积为7.20.(本小题满分16分)(2016启东中学月考)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位).(1)若复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围；(2)若复数z1cos isin (0)，求|z-z1|的取值范围.【解】设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，(xyi)(2i)(2x-y)(x2y)i，z2i，均为实数，解之得z4-2i.(1)(zai)24(a-2)i216-(a-2)28(a-2)i(124a-a2)8(a-2)i.(zai)2在复平面内对应的点在第一象限内解之得2a6.即实数a的取值范围是(2,6).(2)z-z1(4-cos )-(2sin )i，则|z-z1|2(4-cos )2-(2sin )2214sin(-)，21-4|z-z1|2214，2-1|z-z1|21.
