1、唐山一中20202021学年度第二学期期中考试高二年级 数学试卷命题人：周国明 审核人：孟征说明：1.考试时间120分钟，满分150分。2答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。卷(选择题 共60分)一单项选择题（共8小题，每小题5 分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1.在复平面内，复数z=2+3i3-4i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数所对应的点位于( )A. 第一象限B.
2、第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有( )A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种4.在2x3+1x2n(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 105.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布 N（75,121），考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人(参考数据P(-X+
3、)=0.6826，P(-2X+2)=0.9544)A. 261B. 341C. 477D. 6836.某射手每次射击击中目标的概率均为p(0p0)的焦点，过点F且斜率为3的直线l交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线的准线于点C.则下列结论正确的是( )A. AF=FCB. |AF|=2|BF|C. |AB|=3pD. 以AF为直径的圆与y轴相切12.已知函数f(x)=ex+alnx，其中正确结论的是( )A. 当a=0时，函数f(x)有最大值B. 对于任意的a0，函数f(x)是(0,+)上的增函数D. 对于任意的a0，都有函数f(x)0卷(非选择题 共90分)三填空题（共4小题，每
4、小题5 分，计20分.）13.若命题“xR,x2+(a-1)x+10”是假命题，则实数a的取值范围为.14.已知(2+mx)(1+x)3的展开式中x3的系数为5，则m=_15.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 35，刮风的概率为 12，既刮风又下雨的概率为 110，则在刮风天里，下雨的概率为_16.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是 23，没有平局若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为_四解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照
5、乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0x1010x2020x30票价(元)369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站概率分别为12，13(1)求甲、乙两人付费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望18. （12分）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA=PD=2，四边形ABCD是边长为2的菱形，A=60，E是AD的中点(1)求证：BE平面PAD； (2)求平面PAB与平面PBC所成角的余弦值 1
6、9.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表： 长潜伏期非长潜伏期40岁以上155540岁及以下1020K2k0.10.05k2.7063.841(1)能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；(2)假设潜伏期Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数，2近似为
7、样本方差， 现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(-Z+)=0.6826，P(-2Z+2)=0.9544，P(-3Z+3)=0.9974，5.082.2520.（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料 数量y(袋)，得到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x(万人)13981012原材料y(袋)3223182428(1)根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a(2)已知购买原材料的费用
8、C(元)与数量t(袋)的关系为C=400t-20,0tb0)经过点P(2,2)，一个焦点F的坐标为(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求OAOB的取值范围22.（12分）已知f(x)=12x2+aex-lnx(1)设x=12是f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)a0时，求证：f(x)12高二期中考试数学参考答案一、单选题 CBBB BBAD二、多选题 9. ABD 10. BD 11. AD 12. BC三、填空题 13. -1,3 14. 1 15. 15 16. 2027四、解答题17.解：(1)由题意
9、知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1-14-12=14，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1-13-13=13，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则PA=1413+1413+1213=13，所以甲、乙两人付费相同的概率是13（4分）(2)由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18PX=6=1413=112，PX=9=1413+1413=16，PX=12=1413+1213+1413=13，P(X=15)=1413+1213=14，PX=18=1213=16（8分）因此X的分布列如下：X69121518P11216131416所以X的数学期望EX=6112+916+1213
10、+1514+1816=514（10分）18.(1)证明：由PA=PD=2，E是AD的中点，得PEAD，由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，且PE平面PAD，可得PE平面ABCD，又BE平面ABCD，所以PEBE，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，A=60，所以BEAD，又PEAD=E，且PE，AD平面PAD，所以BE平面PAD；（5分）(2)解：由(1)可知EA，EB，EP两两垂直，以E为原点，EA,EB,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,3)，A(1,0，0)，B(0,3,0)，C(-2,3,0)，所PA=(1,0,-3)，PB
11、=(0,3,-3)，PC=(-2,3,-3)，设平面PAB的一个法向量为n=(x,y，z)，则PAn=0PBn=0，即x-3z=03y-3z=0,令z=1，可得n=(3,1,1)，（8分）同理可得平面PBC的一个法向量为m=（0,1,1），（10分）所以平面PAB与平面PBC所成角的余弦值为|cosm,n|=mn|m|n|=105（12分）19.解：(1)K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(1520-5510)2703025751.587，由于1.5872.706，故没有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；（6分）(2)若潜伏期ZN(7.21,2.
12、252)，此时+3=7.21+32.25=13.96，由P(Z13.96)=1-0.99742=0.0013，显然潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的（12分）20.解：(1)由所给数据可得：x=13+9+8+10+125=10.4，y=32+23+18+24+285=25（2分）b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=1343-510.425558-510.42=2.5（4分），a=y-bx=25-2.510.4=-1，则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1;（6分）(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5，即预计需要原材料36.5袋，因
13、为C=400t-20,0t36,tN380t,t36,tN,（9分）所以当t36时，利润L=70036.5-380t，最大为70036.5-38037=11490，当t=36时，L=70036-38036=11520，综上，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，为11520元.（12分）21.解：(1)解：(1)根据椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)2+(2)2+2=42，解得a=22，又c=2，b2=a2-c2=(22)2-22=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1；（5分）(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=kx+1x28+y24=1，消去y，整
14、理得(1+2k2)x2+4kx-6=0；又=16k2+24(1+2k2)=64k2+240，解得kR；由根与系数的关系得x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2；（8分）y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-6k21+2k2-4k21+2k2+1=1-8k21+2k2，OAOB=x1x2+y1y2=-61+2k2+1-8k21+2k2=-8k2-51+2k2=-4-11+2k2；又-1-11+2k20时，在(0,+)上，f(x)是增函数，且f(12)=0，所以f(x)0，得x12，f(x)0，得0x0，在(0,+)上，f(x)=x+aex-1x是增函数，又f(1)=1+ae-10(且当自变量x逐渐趋向于0时，f(x)趋向于-)，所以，x0(0,1)，使得f(x0)=0，所以x0+aex0-1x0=0，即aex0=1x0-x0，（7分）在x(0,x0)上，f(x)0，函数f(x)是增函数，所以，当x=x0时，fx取得极小值，也是最小值，所以f(x)min=f(x0)=12x02+aex0-lnx0=12x02+1x0-x0-lnx0,(0x01)，（9分）令g(x)=12x2+1x-x-lnx,(0x1)，则g(x)=x-1x2-1-1x=(x-1)-1+xx2，当x(0,1)时，g(x)g(1)=12，即f(x)f(x)min12成立（12分）
