1、课时作业(四十五)直线、平面垂直的判定和性质一、选择题1(2016珠海模拟)在空间中，l，m，n，a，b表示直线，表示平面，则下列命题正确的是()A若l，ml，则mB若lm，mn，则mnC若a，ab，则bD若l，la，则a解析：对于A，m与位置关系不确定，故A错，对于B，当l与m，m与n为异面垂直时，m与n可能异面或相交，故B错，对于C，也可能b，故C错，对于D，由线面垂直的定义可知正确。答案：D2已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，
2、不一定存在直线与m垂直解析：如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在。答案：C3如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFB. DF平面PAEC. 平面PDF平面PAED. 平面PDE平面ABC解析：因BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，A成立；易证BC平面PAE，BCDF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立。答案：D4(2016太原模拟)已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直
3、线，则下列命题中不正确的是()A若mn，m，则nB若m，m，则C若m，m，则D若m，n，则mn解析：选项A是线面垂直的性质定理；选项B是两个平面垂直的判定定理；选项C是两个平面平行的判定方法之一；选项D中，若m，an，则只能得到m，n没有公共点，于是mn或m，n异面。答案：D5(2016杭州模拟)已知l，m为不同的直线，为不同的平面，如果l，且m，那么下列命题中不正确的是()A“l”是“”的充分不必要条件B“lm”是“l”的必要不充分条件C“m”是“lm”的充要条件D“lm”是“”的既不充分也不必要条件解析：对于A中命题由“l”可得“”，但反之不一定，故A中命题正确；对于B中命题，“lm”不一
4、定有“l”，但反之成立，故B中命题正确；对于C中命题，因为mlm或l与m为异面直线，所以“m” lm，故C错误；对于D中命题，“lm” “”，反之亦然，故D中命题正确，故选C。答案：C6如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()AAD平面BCDBAB平面BCDC平面BCD平面ABCD平面ADC平面ABC解析：在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，所以
5、CDAB，又ADAB，ADCDD，故AB平面ADC，从而平面ABC平面ADC。答案：D二、填空题7(2016天津模拟)已知不同直线m，n与不同平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则。其中真命题的个数是_个。解析：平行于同一平面的两直线不一定平行，所以错误。根据线面垂直的性质可知正确。根据面面垂直的性质和判断定理可知正确，所以真命题的个数是2个。答案：28在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为_。解析：PC平面ABC，CM平面ABC，PCCM，PM。要使PM最小，只需CM最小，此时CMAB，CM2
6、，PM的最小值为2。 答案：29如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF。解析：由题意易知B1D平面ACC1A1，所以B1DCF。要使CF平面B1DF，只需CFDF即可。令CFDF，设AFx，则A1F3ax。由RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a。答案：a或2a三、解答题10.(2016日照模拟)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BC1，BCC1，ABCC12。(1)求证C1B平面A
7、BC。(2)设E是CC1的中点，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小。解析：(1)因为BC1，BCC1，CC12，所以BC1，BC2BCCC，所以BC1BC。因为AB侧面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以BC1AB。因为BCABB，所以C1B平面ABC。(2)由AB侧面BB1C1C，AB平面ABC1，得平面BCC1B1平面ABC1，过E作BC1的垂线交BC1于F，则EF平面ABC1，连接AF，则EAF为所求的角。因为BCBC1，EFBC1，所以BCEF，因为E为C1C的中点，所以F为C1B的中点，EF。又因为AE，所以sinEAF。11.(2016广州模拟)如图所示，已知E，F分别
8、是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PAAB4，NC2，M是线段PA上一动点。(1)求证：平面PAC平面NEF。(2)若PC平面MEF，试求PMMA的值。(3)若M是PA中点时，求二面角MEFN的余弦值。解析：(1)连接BD，因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，又因为BDAC，ACPAA，所以BD平面PAC，又因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EFBD，所以EF平面PAC，又EF平面NEF，所以平面PAC平面NEF。(2)连接OM，因为PC平面MEF，平面PAC平面MEFOM，所以PCOM，所以，故PMMA13。(3)
9、因为EF平面PAC，OM平面PAC，所以EFOM，在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，所以NOEF，所以MON为所求二面角MEFN的平面角，因为点M是PA的中点，所以AMNC2，所以在矩形MNCA中，可求得MNAC4，NO，MO，在MON中，由余弦定理可求得cosMON，所以二面角MEFN的余弦值为。12如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直。已知AB2，EF1。(1)求证：平面DAF平面CBF。(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小。(3)当AD的长为何值时，二面角DFEB的大小为60。解析：(1)因为平面ABCD平面ABEF，CBAB
10、，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF。因为AF平面ABEF，所以AFCB，又因为AB为圆O的直径，所以AFBF，所以AF平面CBF。因为AF平面ADF，所以平面DAF平面CBF。(2)根据(1)的证明，有AF平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，所以ABF为直线AB与平面CBF所成的角，因为ABEF，所以四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H。已知AB2，EF1，则AH。在RtAFB中，根据射影定理AF2AHAB，得AF1。sinABF，所以ABF30。所以直线AB与平面CBF所成角的大小为30。(3)过A作AGEF于G，连接DG，则AGD是二面角DFEB的平面角。所以AGD60。由AGEF和ABEF知，AGAB。所以FAGABF30。在RtAFG中，AF1，则AGAFcos30。在RtAGD中，AG，则ADAGtan60。因此，当AD的长为时，二面角DFEB的大小为60。
