1、3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义Q加法是一种累积，使人从小到大，从弱到强，从单纯走向复杂；减法是一种删节，在经过一定的积累以后，删去多余的枝枝叶叶，以化解心灵的重负；乘法是一种跨越，是实现人生跨越的秘诀；除法是一种卸载，一切不道德的尘埃，必须依靠理性来及时卸载，以剔除心灵的稗种这就是人生的四则运算。复数作为数系大家庭的一员，它的四则运算又是怎样的呢？X复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1、z1、z3C，设、分别与复数z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)相对应，且、不共线加法减法运算法则z1z2(ac)(bd)iz1z2(ac)(bd)i几何意义
2、复数的和z1z2与向量的坐标对应复数的差z1z2与向量的坐标对应运算律交换律z1z2z2_z1_结合律(z1z2)z3z1(_z2z3_)Y1已知复数z134i，z234i，则z1z2(B)A8iB6C68iD68i解析z1z234i34i(33)(44)i6.2若(1i)(23i)abi(a、bR，i是虚数单位)，则a、b的值分别等于(A)A3，2B3,2C3，3D1,4解析(1i)(23i)32i，解得a3，b2.3向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是(C)A108iB108iC0D108i解析由题意可知(5，4)，(5,4)，(5，4)(5,4)(55，44)(
3、0,0)对应的复数是0.4若复数z12i，z212i，则复数z1z2在复平面内对应点所在的象限是(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析z1z2(2i)(12i)(21)(i2i)3i，故z1z2对应点的坐标为(3，1)在第三象限5若复数z12i，z23ai(aR)，z1z2所对应的点在实轴上，则a_1_.解析z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，z1z2所对应的点在实轴上，a10，a1.6计算：(1)(24i)(5i)；(2)(2 i8)(1 i)解析(1)(24i)(5i)(25)(41)i35i.(2)(2 i8)(1 i)(82i)(1i)(81)(2)i7 i.H命题方向
4、1复数代数形式的加减运算典例1计算下列各题：(1)(i)(i)1；(2)()()i；(3)(56i)(22i)(33i)思路分析解答本题可根据复数加减运算的法则进行解析(1)原式()()i11i.(2)原式()(1)ii.(3)原式(523)6(2)3i11i.规律方法复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减跟踪练习1复数z1a223ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，求a.解析z1z2(a22a)(a23a2)i.z1z2为纯虚数，a2.命题方向2复数加、减法运算的几何意义典例2已知复平面内的平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0、32i、24
5、i，试求：(1)对应的复数；(2)对应的复数；(3)B点对应的复数解析(1)，则对应的复数为(32i)，即32i.(2)，所以对应的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所以对应的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.规律方法1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决2若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理例如关系式|z1z2|z1z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形跟踪练习2设向量及在复平面内分别与复
6、数z153i及复数z24i对应，试计算z1z2，并在复平面内表示出来解析z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i.如下图所示，即为z1z2所对应的向量根据复数减法的几何意义：复数z1z2是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数命题方向3复数加减法的综合问题典例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.思路分析设出z1、z2，将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解解析解法一：设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21，由得2ac2bd1.|z1z2|.解法二：作出z1、z2对应的向
7、量、，则z1z2对应，|z1|z2|1，若、共线，则|z1z2|2或0，与已知矛盾与不共线又|z1|z2|z1z2|，OZ1Z2为等边三角形Z1OZ260，设z1z2对应向量，则OZ1Z120，在OZ1Z2中，由余弦定理得：|.规律方法1.设出复数zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x、y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用2在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形
8、；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪练习3设z1、z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.解析解法一：设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)由题意，知a2b21，c2d21.(ac)2(bd)22，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd2.|z1z2|.解法二：设复数z1，z2，z1z2分别对应向量、，|z1|z2|1，|z1z2|，平行四边形OZ1ZZ2为正方形|z1z2|Z2Z1|OZ|.Y考虑问题要全面典例4已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复
9、数52i、45i、2，求点D对应的复数错解，zAzBzDzC，zDzAzBzC(52i)(45i)217i.即点D对应的复数为17i.辨析四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有ABCD一种情况，应该还有ABDC和ACBD两种情况如图所示正解用错解可求D对应的复数为17i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.图中点D对应的复数为37i，图中点D对应的复数为113i.故点D对应的复数为17i或37i或113i.X复数的模的取值范围问题典例5设x0,2)，复数z1cosxisin x对应的点在第一象限中直线yx的左上方，z21i，则|z1z2|的取值范围是_(1，)_.思路分析第一
10、步，审题一审条件，挖掘题目信息，由x0,2)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线yx的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1z2.二审结论，明确解题方向，求|z1z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是0,2)第二步，建立联系，确定解题步骤由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求x的取值范围，再将|z1z2|表示为x的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z1z2|的取值范围第三步，规范解答解析由已知得z1z2(cosx1)(sinx1)i，所以|z1z2|.因为
11、复数z1cosxisin x对应点在第一象限中直线yx的左上方，且x0,2)，所以，解得x，所以x，故cos(x)(，0)，所以(1，)，故|z1z2|(1，)K1复数(1i)(2i)3i等于(A)A1iB1iCiDi2已知复数z1i和复数z2cos60isin60，则z1z2等于(A)A1B1CiDi3(ab)(ab)i(ab)(ab)i等于(A)A2b2biB2b2biC2a2biD2a2ai解析原式(ab)(ab)(ab)(ab)i2b2bi.4复数(1i)(2i)(4i)3i_3_.解析(1i)(2i)(4i)3i1i2i4i3i(124)(iii3i)3.5设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围解析因为z1(m15)i，z22m(m3)i，所以z1z2(2)(m15)m(m3)i(m22m15)i.因为z1z2是虚数，所以m22m150，且m2，所以m5，且m3，且m2，所以m的取值范围是(，3)(3，2)(2,5)(5，)
