1、第六章 数 列 第二节 等差数列及其前 n 项和 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识梳 理 诊 断 1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_表示，定义表达式为)_或_同一个常数2danan1d(常数)(nN*，n2)an1and(常数)(nN*)(2)等差中项若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a
2、与 b 的等差中项，且有 A_.ab22等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是_(2)等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和Sn_或 Sn_ana1(n1)d(nN*)na1nn12dna1an2(nN*)3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则_.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为_.(4)若an，bn是等差数列，公差为 d，则panqbn也是等差数列(nm)dakalaman2d
3、(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若 n 为偶数，则 S 偶S 奇nd2；若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)md1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()(4)数列an满足 an 1ann，则数列an是等
4、差数列()(5)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)2若an为等差数列，且 a72a41，a30，则公差d 等于()A2B12C.12D2解析 由于 a72a4a16d2(a13d)a11，则 a11.又由 a3a12d12d0，解得 d12.故选B.答案 B3(2015重庆卷)在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6()A1B0C1D6解析 由等差数列的性质知 a2a62a4，所以 a62a4a20，故选 B.答案 B4设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 S735，则 a4等于()A8B7C
5、6D5解析 由题意，7a1a7272a4235，所以 a45.答案 D5在等差数列an中，a912a126，则数列an的前 11项和 S11()A24B48C66D132解析 解法一：由 a18d12(a111d)6，故 a15d12，a1125d.又 S1111a111102d11a155d11(125d)55d132.解法二：由 a912a126，得 2a9a1212.由等差数列的性质得，a6a12a1212，a612，S1111a1a112112a62132，故选 D.答案 D6(2016长安一中月考)若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a96
6、0n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由解析(1)设an的首项为 a1，公差为 d，则 S99a136d9(a14d)27，a14d3.又a10a19d8，a11，d1.a100a199d98.故选 C.(2)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 a36，S312，得a12d6，3a13d12，解得a12，d2.(3)设等差数列an的公差为 d.a1，a2，a5 成等比数列，a22a1a5，即(a1d)2a1(a14d)，化简得 d24d0.解得 d0 或 d4.当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2.数列an的通项公式为 an2 或 an4n2.当
7、 an2 时，Sn2n.由 2n60n800 及 nN*得 n 无解；当 an4n2 时，Snna1an22n2.由 2n260n800，得 n230n4000.解得 n40 或 n1 时，anan114an1，且 a115.(1)求证：数列1an 为等差数列(2)a1a2 是否是数列an中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由解(1)证明：根据题意 a115及递推关系得 an0.因为 anan114an1，取倒数得 1an 1an14，即 1an 1an14(n1)所以数列1an 是首项为 5，公差为 4 的等差数列(2)由(1)得 1an54(n1)4n1，an14n1.又 a1a
8、21519 14514n1，解得 n11.所以 a1a2 是数列an中的项，是第 11 项课 堂归 纳 小 结 方法技巧1.方程思想：等差数列中由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，善于应用性质，减少计算量2函数思想：当d0时，an与自变量n为一次函数关系Sn与n的关系：当d0时，Snna1为一次函数；当d0时，Snn2n为二次函数关系，其中，当d0时，Sn有最小值，当d0时，Sn有最大值3等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.易错点睛1.当公差d0时，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，当公差d0时，an为常数2公差不为0的等差数列的前n项和公
9、式是关于n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列.名 师微 课 导 学 课题 30：破解等差数列前 n 项和的最值问题名师导学：等差数列前 n 项和最值问题的破题关键是弄清等差数列前 n 项和存在最值的条件，要从等差数列前 n 项和与二次函数的关系及数列单调性两个方面来把握(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当 Sn 取最小值时，n 等于()A6B7C8D9(2)(2016上海十二校联考)在等差数列an中，若 a10，Sn 为其前 n 项之和，且 S7S17，则 Sn 为最小时 n 的值为_切入点(1)求出 a
10、n，由单调性求解，或求出 Sn，由二次函数知识求解；(2)由等差数列的性质或前 n 项和的性质求解解析(1)解法一：设该数列的公差为 d，则 a4a62a18d2(11)8d6，解得 d2，所以 Sn11nnn122n212n(n6)236，所以当 n6 时，Sn 取最小值解法二：由 an2n13 知，n6 时，an0，故 S6 最小(2)解法一：由 S7S17，知 a8a9a170，根据等差数列的性质，a8a17a9a16a12a13，因此 a12a130，又因为 a10，从而 a120，故当 Sn 为最小时 n 为12.解法二：an是等差数列，Sn 为 n 的二次函数，故 Sn在对称轴处取
11、得最值S7S17，n717212 时，Sn 最小答案(1)A(2)12求等差数列前 n 项和的最值的方法(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值(3)利用等差数列的前 n 项和 SnAn2Bn(A、B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值1(2016深圳第一次调研)等差数列an中，已知 a50，a4a70,则an的前 n 项和 Sn 的最大值为()AS4BS5CS6DS7解析 a4a7a5a60，a50，a60，Sn 的最大值为 S5.答案 B2(2016山东烟台模拟)已知数列an为等差数列，若a11a100 的 n 的最大值为_解析 a11a100，a110，且 a10a110，S2020a1a20210(a10a11)0 的 n 的最大值为 19.答案 19请做：课时跟踪训练（三十）
