1、学科网（北京）股份有限公司绝密启用前重庆一中高 2025 届高二下开学考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知函数2()sinf xxx=，则2f 的值为（）A0 B C24 D24 2设动直线 l 与22:(1)5Cx
2、y+=交于 A，B 两点若弦长 AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线 l 的方程可以是（）A2xya+=B2axya+=C2axy+=D xaya+=3已知数列 nb是公比为(1)q q 的正项等比数列，且10122ln0b=，若24()1f xx=+，则()()()122023f bf bf b+=（）A4069 B2023 C2024 D4046 4已知函数()f x 的定义域为 R，设()e()xg xf x=设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是
3、乙的充分条件也不是乙的必要条件 5已知 F 为抛物线24yx=的焦点，A、B、C 为抛物线上三点，当0FAFBFC+=时，则在点 A、B、C中横坐标大于 2 的有（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 6已知定义在 R 上的偶函数()f x 满足()(2)4f x f x=，()0f x，(2024)1f=则20231()if i=（）学科网（北京）股份有限公司A4545 B4552 C4553 D4554 7已知等差数列 na（公差不为零）和等差数列 nb的前 n 项和分别为nS，nT，如果关于 x 的实系数方程22021202120210 xSxT+=有实数解，那么以下 2021 个方
4、程20(1,2,3,2021)iixa xbi+=中，无实数解的方程最多有（）A1008 个 B1009 个 C1010 个 D1011 个 8记椭圆22:21C xy+=的左右焦点为1F，2F，过2F 的直线 l 交椭圆于 A，B，A，B 处的切线交于点 P，设12F F P的垂心为 H，则 PH 的最小值是（）A2 B 3 C 5 D6二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9在正四棱台1111ABCDA B C D中，11122ABA BAA=，则（）A直线1AA 与1
5、1C D 所成的角为60 B平面11AA D D 与平面11BB C C 的夹角为60 C1/AA平面1C BD D1AA 平面1A BD 10设 F 为双曲线22:2C xy=的右焦点，O 为坐标原点若圆22()4xym+=交 C 的右支于 A，B 两点，则（）AC 的焦距为2 2 B22|OAOB+为定值 C|OAOB+的最大值为 4 D|FAFB+的最小值为 2 11已知数列 na：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，其中第 1 项为 1，接下来的 2 项为 1，2，接下来的 3 项为 1，3，5，再接下来的 4 项为 1，4，7，10，依此类推，则（）A2021a=B2(1)22
6、2n nann+=+C存在正整数 m，使得ma，1ma+，2ma+成等比数列 D有且仅有 3 个不同的正整数 m，使得12156mmmaaa+=三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分学科网（北京）股份有限公司12若直线 1:210lxmy+=与直线221:02lm xy+=垂直，则 m 的值为_ 13已知数列 na的各项均为非零实数，其前 n 项和为nS，11a=，且对于任意的正整数 n 均有211nnnSSa+=（1）若32a=，则2a=_；（2）若20232022a=，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是na=_ 14已知函数()lnf xx=，()ag xx=（0
7、 x，0a），若存在直线 l，使得 l 是曲线()yf x=与曲线()yg x=的公切线，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAB 平面 ABCD，2AB=，2PAPBAD=（1）证明：PCBD；（2）求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值 16（15 分）记nS，nT 分别为数列 na，nb的前 n 项和已知nSn为等比数列，11nnbb+=，3228aS=，3315ST=（1）求 na，nb的通项公式；（2）求数列nna b的前 2n 项
8、和 17（15 分）已知函数21()cos12f xaxx=+（1）当1a=时，求()f x 的单调区间；（2）若0 x=是()f x 的极大值点，求 a 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司18（17 分）设1F、2F 分别是粗圆222:2(0)E xytt+=的左、右焦点（1）求 E 的离心率；（2）过1F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点（AB 与 y 轴不平行）当 t 为常数时，若2AF，|AB，2BF 成等差数列，求直线 l 的方程；当2t=时延长2BF 与 E 相交于另一个点 C（2BF 与 x 轴不垂直），证明：直线 AC 与椭圆221129xy+=相切 19（17 分
9、）已知函数2()()exf xxa=（1）讨论()f x 的单调性；（2）设1x，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()11,A xf x，()()22,B xf x（）证明：直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C；（）在（i）的条件下，判断是否存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=若存在，求 n；若不存在，说明理由 附：ln 20.693=，ln51.609=绝密启用前重庆一中高二下开学考试数学试题参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1B 2D 3C 4D 5D 6C 7C 8D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6
10、 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9ACD 10BCD 11ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 120 或 12 132；,12022,2022(1),2023nnnn（答案不唯一）学科网（北京）股份有限公司1410,(1,)e+四、解答题：共 77 分 15解：（1）取 AB 的中点 O因为 PAPB=，所以 POAB 因为平面 PAB 平面 ABCD，且平面 PAB 平面 ABCDAB=，所以 PO 平面 ABCD 因为 BD 平面 ABCD，所以 POBD 因为 tant
11、anBOADBCOABDBCAB=，所以BCOABD=，因此COBD 因为 POCOO=，所以 BD 平面 POC 又因为 PC 平面 POC，所以 PCBD （2）以 O 为坐标原点，OA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 由题设得(1,0,0)A，(0,0,1)P，()1,2,0D，()1,2,0C，(1,0,1)PA=，()0,2,0AD=，()1,2,1PC=设(,)nx y z=是平面 PAD 的法向量，则0,0,n ADn AD=即20,0,yxz=可取(1,0,1)n=所以2cos,2n PCn PCnPC=因此 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为2
12、2 16解：（1）由题设得332228aSSS=，即32232SS=因此nSn的公比为 2，于是1121nnSSn=，即112nnSnS=又因为24S=，所以2114SS=，即12nnSn=当1n=时，111aS=当2n 时，12212(1)2(1)2nnnnnnaSSnnn=+所以()2*(1)2nnann=+N 学科网（北京）股份有限公司又因为233 212S=，312311Tbbbb=+=，所以3311315STb=，因此12b=，21b=因为1121nnnnbbbb+=+=+，所以2nnbb+=因此 na的通项公式为2(1)2nnan=+，nb的通项公式为2,1,.nnbn=为奇数为偶
13、数（2）设21 2122nnnnncaba b=+，由（1）得2322121 212242(21)24nnnnnnnncaba bnn=+=+=，所以nna b的前 2n 项和()2121 212211114143nnnnnkkkkkkkkkkkka baba bc=+=17解：（1）当1a=时，21()cos12f xxx=+，xR，则()sinfxxx=令函数()sing xxx=，则()1 cos0g xx=，可得()g x 单调递增 又(0)0g=，所以当(0,)x+时，()0g x，当(,0)x 时，()0g x 所以()f x 的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,)+（2
14、）若0a=，则21()2f xx=，此时0 x=是()f x 的极小值点，故0a()sinfxxaax=，令函数()sinh xxaax=，则22()1cos1cos|h xaaxaa x=令函数2()1cos|(0)xaa x a=，可知()x在区间 0,|a上单调递增 当2(0)10a=且0a，即 11a 且0a 时，()(0)0 x，此时()h x 在区间 0,|a上单调递增，则()(0)0h xh=，此时0 x=不可能是()f x 的极大值点 当2(0)10a=，即1a 时，由()x在区间 0,|a上单调递增，可知存在0,|ma，使得当0,)xm时，()0 x，则2222attbabc
15、=+，故22ct=，即22cea=（2）2AF，|AB，2BF 成等差数列，222|ABAFBF=+，又22|4ABAFBFt+=，4|3ABt=，AB 与 y 轴不平行，所以直线 AB 的斜率存在，若 AB 的斜率为 k，设直线 AB 方程为22yk xt=+，()11,A x y，()22,B xy，联立222222yk xtxyt=+=，消去 y 得()222222212 20kxtk xt kt+=，则21222221222 22121tkxxkt ktx xk+=+=+，222122214|11123tkABkxxktk+=+=+=+，解之得1k=，故直线 AB 方程为202xyt+
16、=或202xyt+=设(,)B m n，则2222mn+=，令11ABnkkm=+，21BCnkkm=，AB与 y 轴不平行且 AB、BC 斜率存在，1m ，联立122(1)12yk xxy=+=，消去 y 得()2222111214220kxk xk+=，且()21810k=+，由韦达定理可知，22112212112221211nmkmxknm+=+，并注意到2222mn+=，得213423mmmxm+=+，即13423mxm+=+，学科网（北京）股份有限公司故()111123nykxm=+=+，得34,2323mnAmm+，同理得34,23 23mnCmm此时，2323343462323A
17、Cnnmmmkmmnmm+=+，直线 AC 的方程为3423623nmmyxmnm=，整理得163myxnn=，联立221631129myxnnxy=+=，消去 y 得()222224440mnxmxn+=，注意到2222mn+=，故2224440 xmxn+=，此时，()()222216321162320mnmn=+=+=，直线 AC 与椭圆221129xy+=相切 19解：（1）2()2()e()e(2)()exxxfxxaxaxaxa=+=+令()0fx=得2xa=或 xa=当(,2)(,)xaa+时，()0fx；当(2,)xaa时，()0fx所以()f x 在(,2)a，(,)a+单调
18、递增，在(2,)aa单调递减（2）由（1）得12xa=，2xa=（）直线 AB 的方程为()(2)()()(2)f af ayf axaaa=，即22e()ayxa=由2(),2e()ayf xyxa=得2()()e2e0 xaxaxa+=设2()()e2exag xxa=+，则()e()e(1)exxxg xxaxa=+=+学科网（北京）股份有限公司令()0g x=得1xa=当(,1)xa 时，()0g x所以()f x 在(,1)a单调递减，在(1,)a+单调递增 因为(2)0g a=，2(1)(2e)e0ag a=，所以()g x 有且仅有 2 个零点2a，0 x，其中0(1,)xaa
19、这表明方程2()()e2e0 xaxaxa+=的解集为02,ax a，即直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C，且 C 的横坐标为0 x （）由（）得()020 e2exaax=，即()()00lnln 22axax=假设存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=，则00(2)2aaaxax=，所以02xa=，代入可得2ln20+=设2()ln2h xxx=+，则22()xh xx=令()0h x=得2x=当(1,2)x时，()0h x所以()h x 在(1,2)单调递减，在(2,)+单调递增 因为(1)0h=，3(4)2ln 22 0.7 1.502h=，所以存在唯一的(4,5)，使得()0h =此时()()0222002e2ee2eaxaag xxa=+=+ln22222ee2ee20aa=+=+=因此，存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=，且4n=
