1、学案8 函数的奇偶性与对称性一、课前准备：【自主梳理】1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的_一个，都有_，那么就叫做奇函数对于函数的定义域的_一个，都有_，那么就叫做偶函数2奇偶函数的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于_对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于_对称（3）若奇函数的定义域包含0，则_（4）定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数_和一个偶函数_的和（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为_；两个偶函数之积（商）为_；一奇一偶函数之积（商
2、）为_（注：取商时应使分母不为0）3函数图像的对称性：（1）定义在上的函数满足，则的图像关于_对称 （2）定义在上的函数满足，则的图像关于_对称 【自我检测】1对于定义在R上的函数，下列判断正确的是_ 若，则函数是偶函数；若，则函数不是偶函数；若，则函数不是奇函数2给出4个函数：；其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数3.已知为奇函数，则_,_4.函数的图像关于点_对称5.函数，若，则的值为_6.已知函数是定义在的奇函数，则函数的奇偶性是_二、课堂活动：【例1】填空题：（1）函数是_函数（填奇偶性）（2）已知函数，其定义域为，则为偶函数的充要条件为_（3）已知是R上的奇函数,且
3、当时,则的解析式为_（4）若函数是奇函数，则_【例2】判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）【例3】（1）已知函数是偶函数，当时，又的图象关于直线对称，求在上的解析式；（2）若函数是偶函数，定义域为且在区间上为增函数，解关于不等式课堂小结三、课后作业1.下列函数中，是偶函数的是_. 2.若函数是奇函数，则实数 .3.奇函数的定义域是，当时，则在上的表达式为_.4.已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式是_.5.若函数是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式为_.6.若函数是定义在上的奇函数，且在上为减函数，若，则实数a的取值范围为_.7.若奇函数满足则_.8.已知是定义在上的偶函数，并
4、满足，当时，则的值为_.9.函数是奇函数，且当时是增函数,若，求不等式的解集.10.已知函数对一切，都有.（1）求证：是奇函数； （2）若，用表示.四、纠错分析错题卡题 号错题 原 因 分 析函数的奇偶性与对称性答案一、课前准备：【自主梳理】1.任意，任意，.2.（1）原点，原点.（2）原点，轴.（3）0.（4），.（5）偶函数，偶函数，奇函数.3.（1）直线.（2）点.【自我检测】1.2.，.3. .4. .5.0.6.奇函数.二、课堂活动：【例1】（1）偶.（2）.（3）.（4）1.【例2】【解析】（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数（2）由得定义域为， 为偶函数（3）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数【例3】【解析】（1）的图象关于直线对称，即当时，又为偶函数，时，（2）函数是偶函数，定义域为且在区间上为增函数，在上为减函数.由得：，即：或，又，即不等式的解为：三、课后作业1.2. 函数是实数R上的奇函数 3. 4. 5. 6. 7. 8.2.5【解析】9.【解析】 ，解之得，所以不等式的解集为.10. 【解析】（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即， 是奇函数（2）由，及是奇函数，得
