1、小升初30类经典案例解析（第七套）班级 姓名 得分第19类：“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量=原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。【例】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解析：草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面
2、20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以11020=原有草量20天内生长量同理11510=原有草量10天内生长量由此可知（2010）天内草的生长量为1102011510=50因此，草每天的生长量为50（2010）=5（2）求原有草量原有草量=10天内总草量10内生长量=11510510=100（3）求5天内草总量5天内草总量=原有草量5天内生长量=10055=125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数1255=25（头）答：需要5头牛5天可
3、以把草吃完。【强化训练】1.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？第20类：鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数=（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=（2鸡兔总数鸡与
4、兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数=（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。【例】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解析：假设35只全为兔，则鸡数=（43594）（42）=23（只）兔数=3523=12（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数=（94235）（42）=12（只）鸡数=3512=23（只）答：有鸡23只，有兔12只。【强
5、化训练】1. 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？2.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？3.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？4.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？第21类：方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数1）
6、4每边人数=四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）（内边人数）内边人数=外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。【例】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解析：2222=484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。【强化训练】1.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。2.有一队学
7、生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？3. 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？4.有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？强化训练参考答案第19类：“牛吃草”问题1.这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量=1123=原有水量3小时进水量10小时内的总水量=1510=原有水量10小时进水量
8、所以，（103）小时内的进水量为15101123=14因此，每小时的进水量为14（103）=2（2）求淘水前原有水量原有水量=11233小时进水量=3623=30（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（172），所以17人淘完水的时间是30（172）=2（小时）答：17人2小时可以淘完水。第20类：鸡兔同笼问题1.此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
9、假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数=（91216）（3512）=10（亩）答：白菜地有10亩。2.此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数=（690.7045）（3.200.70）=15（本）日记本数=4515=30（本）答：作业本有15本，日记本有30本。3.假设100只全都是鸡，则有兔数=（210080）（42）=20（只）鸡数=10020=80（只）答：有鸡80只，有兔20只。4.假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个
10、大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）=75（人）共有大和尚10075=25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。第21类：方阵问题1.1010（1032）（1032）=84（人）答：全方阵84人。2.（1）中空方阵外层每边人数=5241=14（人）（2）中空方阵内层每边人数=2841=6（人）（3）中空方阵的总人数=141466=160（人）答：这队学生共160人。3.（1）纵横方向各增加一层所需棋子数=49=13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数=（131）2=7（只）（3）原有棋子数=779=40（只）答：棋子有40只。4.第一种方法：12345=15（棵）第二种方法：（51）52=15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。
