1、03 导数及其应用(选择题、填空题)（理科专用）1【2022年全国甲卷】已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）AcbaBbacCabcDacb【答案】A【解析】【分析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得cb；构造函数f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，利用导数可得ba，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x(0,2),sinxx14,即cb1,所以cb；设f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，f(x)=sinx+x0，所以f(x)在(0,+)单调递增，则f14f(0)=0,所以cos1431320，所以ba,所以cba，故选：A2【20
2、22年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b=19，c=ln0.9，则（）AabcBcbaCcabDac1)，因为f(x)=11+x1=x1+x，当x(1,0)时，f(x)0，当x(0,+)时f(x)0，所以函数f(x)=ln(1+x)x在(0,+)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以f(19)f(0)=0，所以ln10919ln109=ln0.9，即bc，所以f(110)f(0)=0，所以ln910+1100，故910e110，所以110e11019，故ab，设g(x)=xex+ln(1x)(0x1)，则g(x)=x+1ex+1x1=x21ex+1x1,令(x)=ex(x21)+1，(x)=
3、ex(x2+2x1)，当0x21时，(x)0，函数(x)=ex(x21)+1单调递减，当21x0，函数(x)=ex(x21)+1单调递增，又(0)=0，所以当0x21时，(x)0，所以当0x0，函数g(x)=xex+ln(1x)单调递增，所以g(0.1)g(0)=0，即0.1e0.1ln0.9，所以ac故选：C.3【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取
4、一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.4【2020年新课
5、标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则
6、，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3x+1，则（）Af(x)有两个极值点Bf(x)有三个零点C点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，fx=3x21，令fx0得x33或x33，令f(x)0得33x0，f(33)=12390，f2=50，即函数fx在33,+上
7、无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令(x)=x3x，该函数的定义域为R，x=x3x=x3+x=x，则(x)是奇函数，(0,0)是(x)的对称中心，将(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令fx=3x21=2，可得x=1，又f(1)=f1=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.7【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2axex2（a0且a1）的极小值点和极大值点若x1x2，则a的取值范围是_【答案】1e,1【解
8、析】【分析】由x1,x2分别是函数fx=2axex2的极小值点和极大值点，可得x,x1x2,+时，fx0，再分a1和0a1两种情况讨论，方程2lnaax2ex=0的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造函数gx=lnaax，利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：fx=2lnaax2ex，因为x1,x2分别是函数fx=2axex2的极小值点和极大值点，所以函数fx在,x1和x2,+上递减，在x1,x2上递增，所以当x,x1x2,+时，fx0，若a1时，当x0,2ex
9、0，与前面矛盾，故a1不符合题意，若0a1时，则方程2lnaax2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lnaax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，0a1,函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又lna0,y=lnaax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x0,lnaax0，则切线的斜率为gx0=ln2aax0，故切线方程为ylnaax0=ln2aax0xx0，则有lnaax0=x0ln2aax0，
10、解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2aa1lna=eln2a，因为函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2ae，解得1eae，又0a1，所以1ea0,解得a0,a的取值范围是(,4)(0,+),故答案为：(,4)(0,+)9【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_【答案】 y=1ex y=1ex【解析】【分析】分x0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y=1x，所以y|x=x0=1
11、x0，所以切线方程为ylnx0=1x0xx0，又切线过坐标原点，所以lnx0=1x0x0，解得x0=e，所以切线方程为y1=1exe，即y=1ex；当x0时y=lnx，设切点为x1,lnx1，由y=1x，所以y|x=x1=1x1，所以切线方程为ylnx1=1x1xx1，又切线过坐标原点，所以lnx1=1x1x1，解得x1=e，所以切线方程为y1=1ex+e，即y=1ex；故答案为：y=1ex；y=1ex10【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：11【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，化简即可得解.【详解】由题意，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
