1、13 不等式、推理与证明1【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件x+y2,x+2y4,y0,则z=2xy的最大值是（）A2B4C8D12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2xy为y=2xz，上下平移直线y=2xz，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax=240=8.故选：C.2【2021年乙卷文科】若满足约束条件则的最小值为（）A18B10C6D4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目
2、标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.3【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意【详解】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二
3、定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出4【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+，则（）Af(x)的最小值为2Bf(x)的图象关于y轴对称Cf(x)的图象关于直线对称Df(x)的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2xy=1，则（）Ax+y1Bx+y2Cx2+y22Dx2+y21【答
4、案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【详解】因为aba+b22a2+b22（a,bR），由x2+y2xy=1可变形为，x+y21=3xy3x+y22，解得2x+y2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2xy=1可变形为x2+y21=xyx2+y22，解得x2+y22，当且仅当x=y=1时取等号，所以C正确；因为x2+y2xy=1变形可得xy22+34y2=1，设xy2=cos,32y=sin，所以x=cos+13sin,y=23sin，因此x2+y2=cos2+53sin2+23sincos=1+1
5、3sin213cos2+13=43+23sin2623,2，所以当x=33,y=33时满足等式，但是x2+y21不成立，所以D错误故选：BC6【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a0，b0，且a+b=1，则（）ABCD【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.7【2020年新课标
6、1卷理科】若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小
7、时，z值最大.8【2020年新课标2卷文科】若x，y满足约束条件则的最大值是_【答案】【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，此时点的坐标是方程组的解，解得：，因此的最大值为：.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.9【2020年新课标3卷理科】若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的
8、几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，所以.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.10【2020年新课标3卷理科】关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图象关于y轴对称f（x）的图象关于原点对称f（x）的图象关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
