1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念 第一章 1.2 函数及其表示第一章 1.2.1 函数的概念课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？1.函数的概念设A，B是非空的_，如果按照某种确定的对应关
2、系f，使对于集合A中的_数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫做_，x的取值范围A叫做函数yf(x)的_；与x的值相对应的y值叫做_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数yf(x)的_，则值域是集合B的_数集任意一个唯一确定自变量定义域函数值值域子集知识点拨(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x
3、，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数2常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数ykx(k0)_R反比例函数ykx(k0)x|_y|y0一次函数ykxb(k0)R_a0 y|y 二次函数yax2bxc(a0)Ra0yy4acb24aRx0R4acb24a知识点拨 有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围例如函数 y x的定义域为x|x0，函数 y 1x1的定义域为x|x13相等函数一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由_和_决定的如果两个函数的
4、定义域相同，并且_完全一致，我们就称这两个函数相等(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就_故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则定义域对应关系对应关系一定相同如 y1 与 yxx不是相等函数，因为_y3t4 与 y3x4 是相等函数(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示定义域不同4区间与无穷大(1)区间的概念设 a，b 是两个实数，且 ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间_x|axb开区间_x|axb半闭半开区间_x|axb半开半闭区间_这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点a，b(
5、a，b)a，b)(a，b知识点拨 并不是所有的数集都能用区间来表示例如，数集M1,2,3,4就不能用区间表示由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示(2)无穷大“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，满足 xa，xa，xa，xa 的实数x 的集合可用区间表示，如下表定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)_a，)(a，)(，a(，a)答案 A解析 从函数的概念来看，一个自变量x对应一个y；而A中xy2中一个x对应两个y.A不是函数1.下列式子中不能表示函数 yf(x)的是 导学号 22840
6、187()Axy2 Byx1Cxy0Dyx2答案 D解析 只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同2下列各组函数中，表示相等函数的是 导学号 22840188()Ayx1 和 yx21x1Byx0 和 y1Cf(x)x2 和 g(x)(x1)2Df(x)x2x和 g(x)x x2答案 C解析 f(5)25111，故选C.3已知 f(x)2x1，则 f(5)导学号 22840189()A3B7C11D254 函 数y 2x1 的 定 义 域 为 _.导学号 22840190答案 12，)解析 要使函数有意义，只须 2x10，x12，即定义域为12，)5用区间表示下列数集：导学号
7、22840191(1)x|x0_.(2)x|1x3_.(3)x|x1，且 x2_.答案(1)0，)(2)1,3(3)(1,2)(2，)课堂典例讲练函数概念的理解(1)下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：xy 1x2DAZ，BZ，f：xy 2x1(2)设 Mx|2x2，Ny|0y2，函数 yf(x)的定义域为 M，值域为 N，对于下列四个图象，不可作为函数 yf(x)的图象的是()导学号 22840192思路分析(1)如何利用函数定义对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断
8、(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系(2)由函数定义可知，任意作一条直线xa，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数解析(1)对于 A 项，x2y21 可化为 y 1x2，显然对任 xA，y 值不唯一，故不符合对于 B 项，符合函数的定义对于 C 项，2A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合对于 D 项，1A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合答案(1)B(2)C规律总结 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与
9、其对应2函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”导学号 22840193(1)下列对应是否为 A 到 B 的函数：AR，Bx|x0，f：xy|x|；AZ，BZ，f：xyx2；AZ，BZ，f：xy x；A1,1，B0，f：xy0.(2)(2016甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函数yf(x)的图象的有_答案(1)不是 是(2)解析(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函
10、数；A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.求函数的定义域(1)求下列函数的定义域：导学号 22840194y 4x；y1|x|x；y 5x x11x29.(2)将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x的解析式，并写出此函数的定义域 思 路 分 析 分析所给函数解析式 列不等式组 解不等式组求x的范围 写出函数的定义域解析
11、(1)4x0，即 x4，故函数的定义域为x|x4分母|x|x0，即|x|x，所以 x0.故函数的定义域为x|x0解不等式组5x0，x10，x290，得x5，x1，x3.故函数的定义域是x|1x5 且 x3(2)设矩形一边长为 x，则另一边长为12(a2x)，所以 yx12(a2x)x212ax，定义域为(0，a2)规律总结 求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集
12、合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接导学号 22840195(1)求下列函数的定义域：f(x)1x2；f(x)3x2；f(x)x1 13x.解析 要使函数有意义，须使 x20，x2，定义域为x|x2；要使函数有意义，须使 3x20，x23，定义域为x|x23要使函数有意义，须使x103x0，x1 且 x3，定义域为：x|x1 且 x3(2)已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为_，其定义域为_答案 S12xx2 x|0 x12解析 由题意得，矩形的另外一条边长为12x，于是 S(12x)x12xx2，其中 x 需满足12
13、x0，x0，所以 0 x12，所以 S 与 x 之间的函数关系中的定义域为x|0 x12.相等函数的判断下 列 各 对 函 数 中，是 相 等 函 数 的 序 号 是_.导学号 22840196f(x)x1 与 g(x)xx0f(x)2x12与 g(x)|2x1|f(n)2n1(nZ)与 g(n)2n1(nZ)f(x)3x2 与 g(t)3t2思路分析 解决此类问题，要充分理解相等函数的概念，准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的步骤求解解析 中 f(x)x1，xR，而 yxx0 中 x0，它们的定义域不相同，所以不是相等函数中两个函数的定义域都是 R，并且 f(x)2x12|2
14、x1|，所以它们是相等函数中f(n)2n1(nZ)与 g(n)2n1(nZ)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相等函数中 f(x)3x2 与 g(t)3t2 的定义域都是 R，尽管它们表示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘 3 加 2”，是相同的对应法则，所以是相等函数答案 规律总结 从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的因此，(1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数(2)对应法则f是函数关系的本质特征，要
15、深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分例如f(x)x2x(x1)，f(3)3236，但f(1)是无意义的，不能得出f(1)(1)2(1)2，因为只有当x取定义域1，)内的值时，才能按这个法则x2x进行计算导学号 22840197下列各组式子是否表示相等函数，为什么？(1)f
16、(x)|x|，(t)t2；(2)y x2，y(x)2.(3)y x1 x1，y x21；(4)y 1x 1x，y 1x2.解析(1)表示相等函数在公共定义域 R 上，f(x)|x|和(t)t2的对应法则完全相同，只是表示形式不同(2)y x2的定义域为 R，y(x)2 的定义域是x|x0，定义域不一样，所以不是相等函数(3)y x1 x1定义域为1，)，y x21定义域为(，11，)，故不是相等函数(4)y 1x 1x 1x2，故两函数对应法则相同，又定义域都是1,1，故是相等函数.求函数值已知 f(x)x21x2，xR.导学号 22840198(1)计算 f(a)f(1a)的值；(2)计算
17、f(1)f(2)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)的值思路分析(1)将函数的自变量代入计算即可，(2)可以分别将 f(1)，f(2)，f(12)，f(3)，f(13)，f(4)，f(14)的函数值算出再相加，也可以根据待求式中数据的特征，结合(1)中所得结果求解解析(1)由于 f(a)a21a2，f(1a)11a2，所以 f(a)f(1a)1.(2)方法一：因为 f(1)1211212，f(2)2212245，f(12)122112215，f(3)32132 910，f(13)1321132 110，f(4)421421617，f(14)1421142 117，所以 f(1)f(2
18、)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)124515 910 1101617 11772.方法二：因为 f(a)f(1a)1，从而 f(2)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)1，即f(2)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)3，而 f(1)12，所以 f(1)f(2)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)72.点评 方法二相比方法一的求解更为简捷，关键在于发现 x1x1 这一特征，并利用 f(a)f(1a)1 求解，要注意体会从一般到特殊的思维方式规律总结 此类求值问题，一般要求的式子较多，不能逐个求解，求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的关联，进
19、而去验证，从而得到问题的解决方法导学号 22840199已知函数 f(x)x21x21，则 f(1)f2f12f10f 110_.答案 9解析 fxf1xx21x211x211x21x21x211x21x21，f2f12f3f13f10f 1101，又f(1)0，f(1)f2f12f10f 1109.求函数的值域1.分离常数法求函数 y3x2x2 的值域.导学号 22840200思路分析 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为 ya cxb的形式再求函数的值域解析 y3x2x2 3x68x23 8x2，又 8x20，y3.函数 y3x2x2 的值域是y|yR，且 y3规律总结 求 yaxcxb
20、 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为 ydnxm的形式2配方法求函数 yx22x3(5x2)的值域.导学号 22840201思路分析 这种题型，我们常利用配方法把它们化成 ya(xb)2c 的形式来求函数的值域解析 yx22x3(x1)24，x5，2，其图象是开口向下，顶点为(1,4)，在 x5，2上对应的抛物线上的一段弧根据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且ymin12；当x2时，y取最大值，且ymax3.故yx22x3(5x2)的值域是12,3规律总结 遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为ym(xn)2d的形式，从
21、而轻易找出函数的最值，进而求得函数的值域3换元法求函数 yx 2x1的值域.导学号 22840202思路分析 这种类型的函数，用上面的两种方法来求解，过程繁杂且易出错，所以我们要学会用下面介绍的新的方法来求解这种类型的题，这就是换元法解析 设 u 2x1(x12)，则 x1u22(u0)，于是 y1u22uu122(u0)由 u0 知(u1)21，则 y12.故函数 yx 2x1的值域为12，)规律总结 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围导学号
22、22840203求函数 f(x)2x3x1(2x2 且 x1)的值域解析 f(x)2x15x12 5x1.由2x2 且 x1 得1x13 且 x10.令 tx1，则1t3 且 t0.结合反比例函数 y5t 的图象(图略)可知当1t3 且t0 时，5t 53或5t 5.则 5x153或 5x15.于是 f(x)13或 f(x)7.故函数 f(x)2x3x1(2x2 且 x1)的值域是(，137，).忽视区间中的隐含条件集合 Bx|m1x2m可以用区间 Am1,2m表示吗？导学号 22840204错解 由区间的定义，可知 BA，即两集合表示的是同一意义错因分析 该解法中忽视了区间a，b中的隐含条件
23、am1，即m1这个隐含条件；而集合Bx|m1x2m中的m没有这个隐含条件思路分析 用区间表示含字母的集合时，字母就有了隐含条件，但用集合表示时，却没有这个限制因此在面对Bx|m1x2m这样的集合时，就要注意讨论m的范围，B可能为空集或只有一个元素的集合正解 当m1时，AB，但m1时集合B不能用区间A表示导学号 22840205已知区间2a,3a5，则 a 的取值范围为_答案(1，)解析 由题意可知 3a52a，解之得 a1.故 a 的取值范围是(1，)当 堂 检 测答案 D解析 判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即一对一或多对一，不能一个自变量对应多个y值，故错，正确，故选D.
24、1 下 列 四 个 方 程 中 表 示 y是x的 函 数 的 是导学号 22840206()x2y6；x2y1；xy21；x y.ABCD答案 3,1解析 32xx20，解得3x1，因此定义域为3,12(2016江苏卷，5)函数 y32xx2的定义域是_.导学号 22840207答案 C解析 作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C.3下列图形中表示函数图象的是 导学号 22840208()4 函数 y 6x|x|4 的定义域用区间 表示为 _.导学号 22840209答案(，4)(4,4)(4,6解析 要使函数有意义，需满足6x0，|x|40，即x6，x4，定义域为(，4)(4,4)(4,65已知函数 f(x)2xa，g(x)14(x23)，若 gf(x)x2x1，求 a 的值.导学号 22840210解析 f(x)2xa，g(x)14(x23)，gf(x)g(2xa)14(2xa)23x2ax14(a23)又gf(x)x2x1，x2ax14(a23)x2x1，故 a1.课 时 作 业（点此链接）
