1、极值点的“偏移”问题 知识拓展1.极值点“偏移”图示(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)f(x2)，则x1x22x0)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)f(x2)，则x1x22x0)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)f(x2)，则x1x22x0)2.极值点偏移问题的结论不一定总是x1x2()2x0，也可能是x1x2()x. 题型突破题型一对称化构造法【例1】 已知函数f(x)xex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x1对称，证明：当x1时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x22
2、.(1)解f(x)ex(1x)，得f(x)在(，1)上递增，在(1，)上递减，f(x)有极大值f(1)，无极小值.(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x1对称，得g(x)的解析式为yf(2x)，构造辅助函数F(x)f(x)g(x)f(x)f(2x)，x(1，)，求导得F(x)f(x)f(2x)ex(1x)ex2(x1)(x1)(ex2ex)，当x1时，x10，ex2ex0，则F(x)0，得F(x)在(1，)上单增，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x).(3)证明由f(x1)f(x2)，结合f(x)的单调性可设x11x2，将x2代入(2)中不等式得f(x2)f(2x2)，又f(
3、x1)f(x2)，故f(x1)f(2x2)，又x11，2x21，f(x)在(，1)上单增，故x12x2，x1x22.规律方法用对称化构造的方法解决极值点偏移问题分为以下三步：(1)求导，获得f(x)的单调性，极值情况，作出f(x)的图象，由f(x1)f(x2)得x1，x2的取值范围(数形结合)；(2)构造辅助函数，对结论x1x2()2x0，构造F(x)f(x)f(2x0x)；对结论x1x2()x，构造F(x)f(x)f，求导，限定范围(x1或x2的范围)，判定符号，获得不等式；(3)代入x1(或x2)，利用f(x1)f(x2)及f(x)的单调性证明最终结论.【训练1】 (2016新课标卷节选)
4、已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(a0).设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.证明由f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)，知f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增，f(1)e，由f(x1)f(x2)0，可设x11x2.构造辅助函数F(x)f(x)f(2x)，求导得F(x)f(x)f(2x)(x1)(ex2a)(x1)(e2x2a)(x1)(exe2x)，当x1时，x10，exe2x0，则F(x)0，得F(x)在(，1)上单增，又F(1)0，故F(x)0(x1)，即f(x)f(2x)(x1).将x1代入上述不等式中，得f(x1)f(x2)f(
5、2x1)，又x21，2x11，f(x)在(1，)递增，故x22x1，x1x22.题型二构造函数的选取【例2】 已知函数f(x)exax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0.(1)求a的取值范围；(2)求证：x1x22x0；(3)求证：x1x22；(4)求证：x1x21.(1)解f(x)exa，若a0，则f(x)0，f(x)在R上单增，f(x)至多有1个零点，舍去；故必有a0，易得f(x)在(，ln a)上单减，在(ln a，)上单增，要使f(x)有两个不同的零点，则有f(ln a)0ae(严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x时，f(x)；当x时，f(x).(2)证明由所证结论知这是
6、f(x)的极值点偏移问题，选取函数f(x)来做，下面按对称化构造的三个步骤来写，其中x0ln a.由(1)知f(x)在(，x0)上单减，在(x0，)上单增，可设x1x0x2；构造函数F(x)f(x)f(2x0x)，则F(x)f(x)f(2x0x)exe2x0x2a，当xx0时，有F(x)22a0，则F(x)在(，x0)上单增，得F(x)F(x0)0，即f(x)f(2x0x)(xx0)；将x1代入中不等式得f(x1)f(x2)f(2x0x1)，又x2x0，2x0x1x0，f(x)在(x0，)上单增，故x22x0x1，x1x22x0.(3)证明由所证结论可以看出，这已不再是f(x)的极值点偏移问题
7、，谁的极值点会是x1呢？回到题设条件：f(x)exax0exaxa，记函数g(x)，则有g(x1)g(x2)a，求导得g(x)，则x1是g(x)的极小值点，我们选取函数g(x)来证(3)中结论x1x22，也可证(4)中结论x1x21.g(x)在(，0)和(0，1)上单减，在(1，)上单增；g(x)的符号与x的符号相同；当x时，g(x)0；当x0时，g(x)；当x0时，g(x)；当x时，g(x)，g(x)的图象如下(由图象亦可得ae)，由g(x1)g(x2)a可设0x11x2：构造函数G(x)g(x)g(2x)，则G(x)g(x)g(2x)(x1)，当0x1时，x10，但因式的符号不容易看出，引
8、进辅助函数(x)，则(x)，得(x)在(0，2)上单减，当x(0，1)时，2x(1，2)，即0x2x2，则(x)(2x)，即0，G(x)0，得G(x)在(0，1)上单减，有G(x)G(1)0，即g(x)g(2x)(0x1)；将x1代入中不等式得g(x1)g(x2)g(2x1)，又x21，2x11，g(x)在(1，)上单增，故x22x1，x1x22.(4)证明同上；构造函数G(x)g(x)g，则G(x)g(x)，当0x1时，x10，但因式exxe的符号不容易看出，引进辅助函数(x)exxe，则(x)exe，当x(0，1)时，(x)0，得(x)在(0，1)上单增，有(x)(1)0，则G(x)0，得
9、G(x)在(0，1)上单增，有G(x)G(1)0，即g(x)g(0x1)；将x1代入中不等式得g(x1)g(x2)g，又x21，1，g(x)在(1，)上单增，故x2，x1x21.规律方法常规类型：x1x2()2x0和x1x2()x.【训练2】 已知ba0，且bln aaln bab.求证：(1)abab1；(2)ab2.证明(1)bln aaln bab.记函数f(x)，则f(a)f(b).求导得f(x)，知f(x)在(0，1)上单增，在(1，)上单减，又f0，当x0时，f(x)，当x时，f(x)0，故f(x)的图象如图所示，由图知a1b，又abab1(a1)(1b)0，又a1，b1，(a1)
10、(1b)0，即abab1.(2)构造函数F(x)f(x)f(2x)，则F(x)f(x)f(2x)，当x(0，1)时，(2x)2ln xx2ln(2x)的符号如何判定？尝试变更结论：证明更强的结论ab1.构造函数G(x)f(x)f，则G(x)f(x)fln x，当0x1时，G(x)0，得G(x)在(0，1)上单增，有G(x)G(1)0，即f(x)f(0x1).因为0a1，故f(a)f(b)f，又b1，1，f(x)在(1，)上单减，故b，ab1，由基本不等式知ab22.题型三变更结论【例3】 (2020重庆调研二)已知函数f(x)xln x，g(x)mx2x.(1)若函数f(x)与g(x)的图象上
11、存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；(2)设F(x)f(x)g(x)，已知F(x)在(0，)上存在两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：x1x2e2(其中e为自然对数的底数.)(1)解函数f(x)与g(x)的图象上存在关于原点对称的点，即g(x)mx2x的图象与函数yf(x)xln(x)的图象有交点，即mx2xxln(x)在(，0)上有解，即m在(，0)上有解，设(x)，x0，则(x)，当x(，e2)时，(x)为减函数；当x(e2，0)时，(x)为增函数，(x)min(e2)，即m.(2)证明F(x)f(x)g(x)xln xmx2x，F(x)ln xmx，F(x)在(0，)上存在两个
12、极值点x1，x2，且x1x2，m且m，即ln x1ln x2ln，设t(0，1)，则ln x1ln x2，要证x1x2e2，即证ln x1ln x22，只需证明2，即证明ln t0，设h(t)ln t，则h(t)0，则h(t)ln t在(0，1)上单调递增，h(t)h(1)0，即h(t)ln t0，ln x1ln x22，x1x2e2.规律方法通过换元化为常规类型证明【训练3】 已知函数f(x)ln x和g(x)ax，若存在两个实数x1，x2，且x1x2，满足f(x1)g(x1)，f(x2)g(x2)，求证：x1x2e2.证明令x1x20，f(x1)g(x1)，f(x2)g(x2)，ln x1
13、ax10，ln x2ax20，ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，x1x2e2等价于ln x1ln x22a(x1x2)2a，即ln ，令t，则t1，x1x2e2等价于ln t，令g(t)ln t，g(t)0)，g(t)在(1，)上递增，g(t)g(1)0，即ln t成立，故x1x2e2. 补偿训练1.已知函数f(x)xln xx，两相异正实数x1，x2满足f(x1)f(x2).求证：x1x22.证明f(x)ln x，当x(0，1)时，f(x)单减，当x1时，f(x)单增，且f(1)1，如图所示，不妨设x11x2，要证x1x22，即证x22x1，只需要证f(
14、2x1)f(x2)，又f(x1)f(x2)，所以只需证f(2x1)f(x1)，设g(x)f(x)f(2x)(x(0，1)，则g(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)，0x1，符号不易判断，再设h(x)ln xln(2x)，0x1，则h(x)0，h(x)在(0，1)上单增，h(x)h(1)0，g(x)在(0，1)上单减，g(x)g(1)0，f(x)f(2x)0；0x1，f(x1)f(2x1)成立，x1x22.2.已知函数f(x)xln x的图象与直线ym交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：x1x2.证明f(x)ln x1，得f(x)在上递减，在上递增；当0x1时，f(x
15、)0；f(1)0；当x1时，f(x)0；当x0时，f(x)0(洛必达法则)；当x时，f(x)，于是f(x)的图象如下，得0x1x21.构造函数F(x)f(x)f，求导得F(x)f(x)1ln x(1ln x)，当0x时，1ln x0，10，则F(x)0，得F(x)在上递增，有F(x)F0，即f(x)f，将x1代入(2)中不等式得f(x1)f(x2)f，故f(x2)f，又x2，f(x)在上递增，故x2，x1x2.3.设函数f(x)4ln xmx2(m4)x(m0)，对于曲线yf(x)上的不同两点M(x1，f(x1)，N(x2，f(x2)，记直线MN的斜率为k，若kf(x0)，证明：x1x22x0
16、.证明f(x1)f(x2)4(ln x1ln x2)m(xx)(4m)(x1x2)4(ln x1ln x2)m(x1x2)(x1x2)(4m)(x1x2)，由题设得f(x0)m(x1x2)4m，又m4m，f(x0)，不妨设0x1x2，设t，则t1，则ln ln t(t1)，令h(t)ln t(t1)，则h(t)0，h(t)在(1，)上单调递减，h(t)h(1)0，故ln 0，又x2x10，即ff(x0)，又由f(x0)mx4m，知f(x)在(0，)上单调递减，x0，即x1x22x0.4.(2014天津卷)设f(x)xaex(aR)，xR.已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x1x2.(1
17、)求a的取值范围；(2)证明：随着a的减小而增大；(3)证明：x1x2随着a的减小而增大.(1)解f(x)xaex0，即axex，由题意得直线ya与函数yxex的图象有2个不同的交点，由下图易知0a.(2)证明函数yf(x)的零点即直线ya与函数y图象的交点的横坐标，如上图，有0x11x2，由y在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减可知，当a减小时，x1随之减小，x2随之增大，则增大，即随着a的减小而增大.(3)证明由f(x)xaex0得ln xln ax，则ln x1x1ln x2x2ln a.设t1，则x2tx1，ln x1x1ln tln x1tx1，得x1，所以x1x2(t1)x1.令g(t)，t(1，)，则g(t)，令h(t)2ln tt，得h(t)0(t1)，则h(t)在(1，)上单调递增，故当t1时，有h(t)h(1)0，则g(t)0，g(t)在(1，)上单调递增.于是x1x2随着t的增大而增大.由(2)知t随着a的减小而增大，所以x1x2随着a的减小而增大.
