1、高三年级2020-2021学年第一学期期中考试数学试卷(实验班)一单选题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再根据交集运算求解即可【详解】，故故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题2. 设复数，且，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数，从而得到的共轭复数，即可得解；【详解】解：因为所以，故的虚部为，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.3. 直线与平行,则（ ）A. B. 2C. 或 2D. 0
2、 或 1【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项.【详解】由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题.4. 记等差数列的前n项和为，且，则（ ）A. 9B. 11C. 19D. 21【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为，根据条件列出首项和公差的方程，求出通项公式，从而可得出答案.【详解】设等差数列的公差为，由，得解得所以，故.故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查数
3、学运算的核心素养,属于基础题.5. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得,再利用两个向量的数量积的定义求得结果.【详解】解：故选C【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.6. 直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到圆心，半径，再由直线与圆有两个不同的交点，得到关于的不等式，解出的取值范围，再找其必要不充分条件，即的取值范围是其子集，从而得到答案.【详解】圆的标准方程为，圆
4、心，半径，因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，所以，解得，要求求其必要不充分条件，即为其真子集，故选A【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的范围，必要不充分条件，属于简单题.7. 已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果【详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C故选A【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一8. 已知
5、定义在 上的函数 满足；函数 的图象关于直线 对称，且当 时， （其中是函数的导函数）恒成立，若 ，则 的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由导数性质推导出当x（，0），x（0，+）时，函数yxf（x）单调递减由此能求出结果【详解】函数yf（x1）的图象关于直线x1对称，yf（x）关于y轴对称，函数yxf（x）为奇函数xf（x）f（x）+xf（x），当x（，0）时，xf（x）f（x）+xf（x）0，函数yxf（x）单调递减，当x（0，+）时，函数yxf（x）单调递减，abc，故选A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，
6、属于中档题二多选题9. 若，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】先将，化为对数式，然后比较与的大小，及与的大小可判断A，B的正误；再分别计算及，判断C，D的正误.【详解】由题设知，因为，所以，即A错误，B正确；因为，故C正确；又，故选：BCD.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的大小比较及对数的运算，难度一般.10. 是边长为2的等边三角形,已知向量满足,则下列结论中正确的是( )A. 为单位向量B. 为单位向量C. D. 【答案】AD【解析】分析】根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.【详解】等边三角形的边长为2,故A
7、正确；,故B错误；由于,与的夹角为120,故C错误；又,故D正确.故选: AD.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算法则,属于基础题型.11. 已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（ ）A. 函数只有一个极值点B. 函数满足，且在处取得极小值C. 函数在处取得极大值D. 函数在内单调递减【答案】AC【解析】【分析】通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果.【详解】由导函数的图像可得，当x2时，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.故选: AC.【点睛】本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力
8、，属于基础题.12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于点成中心对称C. 的图象关于直线对称D. 的单调递增区间是【答案】BCD【解析】【分析】化简得，根据三角函数的性质可逐项排除.【详解】，A. 的最小正周期为，错误；B. ，所以图象关于点成中心对称，正确；C. ，所以图象关于直线对称，正确；D. 的单调递增区间是，即，正确故选：BCD.【点睛】本题考查正弦型三角函数化简、三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.三填空题13. 若正数满足，则的最小值是_.【答案】5【解析】【详解】试题分析：，当且仅当，即时取等号考点：基本不等式14. 给出以下四个命
9、题：若，则；已知直线与函数，的图像分别交于点，则的最大值为；若数列为单调递增数列，则取值范围是；已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12.其中正确命题序号为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用三角函数有界性可判断正确；利用作差变形再应用辅助角公式，求三角函数的最值问题可判断；再根据数列知识，作差变形判断参数恒成立问题可判断；应用列举法，求数列和，可判断.【详解】由，得或，或，或，.把带入和，得.则的最大值为；若数列为单调递增数列，则恒成立，恒成立，得.由知：，则使的n的最小值为11.故答案为：【点睛】本题考查三角函数有界性，考查数列单调性，考查作差法，判断命题的正误，综合性较强，有
10、一定难度.15. 已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】【解析】【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，又，所以，8是函数的一个周期，所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，所以，故答案为：【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.16. 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，则球的半径等于_；球的表面积等于_.【答案】 (1
11、). (2). 【解析】【分析】求出的外接圆半径为，可得，解方程可得，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】的外接圆半径为，则球的半径为，表面积为.故答案为：；【点睛】本题考查了球的表面积，需熟记公式，属于基础题.四解答题17. 已知，命题：“均成立”，命题：“函数定义域为”.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由条件转化得：在上恒成立，只需求的最小值，即可得的范围；（2）由题目条件分析可得，命题一真一假，列出相应的不等式组求解即可.【详解】（1）设，则在上恒成立，令，则在单调递增，
12、故.（2）当命题为真命题时，在上恒成立，解得：，命题“”为真命题，命题“”为假命题，命题一真一假，或，解得：或.【点睛】本题主要考查了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于基础题.18. 在，的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在中，角、所对的边分别为、，且角为锐角，（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】选，利用余弦定理求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可利用正弦定理，得到，然后，由（1）可求出，最后利用三角恒等变换，化简得
13、：，再根据角的范围，即可求出的取值范围【详解】（1）选由，得由正弦定理，得.所以因为，所以.选，则，.，所以.选，则.，所以，又，所以.（2），化简得：.因为，所以，即.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题19. 已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，以及对数的运算性质，结合数列的错位相减法求和，计算可得所求和【详解】
14、（1）等比数列的公比设为q，即，是与的等差中项，可得，所以，整理求得，则；（2）由（1）可求得，.，得，所以，【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题20. 四棱锥中，底面为直角梯形，为的中点，为的中点，平面底面.（）证明：平面平面；（）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（）连结，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出底面，这样可以建立以，分别为，轴的正方向建立
15、空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（）四边形是平行四边形.又，.又面面，面面，面面且面平面平面.（）连结，为中点，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，取平面的法向量，设平面的法向量，令，.设二面角的平面角为又为钝角，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.21. 平面内有两个定点A（1，0），B（1，2），设点P到A、B距离分别为，且（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线与轨
16、迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（）；（II）存在过点A的直线：x=1，理由见解析【解析】试题分析：（1）设点 坐标，利用两点间距离公式及题中给出的等式可求得的轨迹方程（2）分两种情况讨论：一、斜率不存在；二、斜率存在当斜率不存在时，很容易求得三角形面积，满足题中条件；当斜率存在时，可设直线方程，可求得 的长度，及 到的距离，利用三角形面积为 可求得直线的斜率，得直线方程（）设P（x，y），则，d2=， ，=， 整理得： ,点P的轨迹C的方程为 （II）存在过点A的直线，与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形SOEF理由如下：当直线的
17、斜率不存在时，直线的方程为x=1，直线过圆心， ， 点到直线的距离为1，此时，所以成立当直线斜率存在时，设方程为：点到的距离，利用勾股定理，得： 点到的距离， 整理得，无解所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在综上，存在过点A的直线：x=1，满足题意22. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】；.【解析】【分析】将代入，求导后运用其几何意义求出切线方程分离参量得，令，求导后算出最值【详解】时，函数，可得，所以，时，曲线则处的切线方程；即：；由条件可得，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，所以在上为减函数又，所以在上，；在上，所以在上为增函数；在上为减函数所以，所以【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果
