1、第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫
2、做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论与易错提醒1.对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)；减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数.2.设任意x1，x2D(x1x2)，则0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减.3.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或
3、“和”连接，不要用“”.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(3)对于函数yf(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x11，x21，则f(1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和(0，).(3)应对任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以.(4)若f(x)x，f(x)
4、在1，)上为增函数，但yf(x)的单调递增区间可以是R.答案(1)(2)(3)(4)2.(2019北京卷)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()A.yx B.y2xC.ylogx D.y解析yx，y2x，ylogx，y的图象如图所示.由图象知，只有yx在(0，)上单调递增.故选A.答案A3.(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0，易知f(x)在2，)上
5、是减函数，f(x)maxf(2)12.答案25.(2020宁波模拟)已知log23a，则_，函数f(x)a2x2ax的单调递增区间为_.解析由log23a得2a3，故2；又函数f(x)由uax与yu22u复合，且alog231，即uax单调递增，而yu22u在1，)上单调递增，则由复合函数的单调性性质知若f(x)单调递增，必须有ax1，故x0，即单调递增区间为0，).答案20，)6.(2020绿色评价联盟适考)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值为_.解析f(3)(3)22(3)3，f(f(3)f(3)2.由图象得f(x)minf(1)1.答案21考点一确定函数的单调性(区间)【
6、例1】 (1)已知函数f(x)log4(4|x|)，则f(x)的单调递增区间是_；f(0)4f(2)_.(2)(一题多解)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性.(1)解析由f(x)log4(4|x|)得函数f(x)的定义域为(4，4)，且函数y4|x|的单调递增区间为(4，0，则函数f(x)log4(4|x|)的单调递增区间为(4，0.f(0)4f(2)143.答案(4，03(2)解法一设1x1x21，因为f(x)aa，所以f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0时，f(
7、x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上递增.规律方法(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(3)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)(2020北京西城区练习)能说明“若f(x1)f(x)对于任意的x(0，)都成立，则f(x)在(0，)上是减函数”为假命题的一个函数是_.(2)(一题多解)判断函数f(x)x(a0)在(0
8、，)上的单调性，并给出证明.(1)解析由题意不妨设f(x)，则f(x1)f(x)2x0在(0，)都成立，但是f(x)在是单调递增的，在是单调递减的，说明原命题是假命题.答案y(答案不唯一，符合条件即可)(2)解f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数.证明如下：法一设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a).当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数.当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是减函数，在，)上为增函数.法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得
9、x或x(舍).令f(x)0，则10，解得x0，0x0恒成立，试求实数a的取值范围.(1)解析由于f(x)所以f(3)log31，则f(f(3)f(1)3，当x1时，f(x)logx是减函数，得f(x)0恒成立，则x22xa0对x1，)恒成立.即a(x22x)在x1，)上恒成立.令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)，g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3.又a1，当30在x1，)上恒成立.故实数a的取值范围是(3，1.规律方法(1)求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法；导数法.(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f(
10、x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b).【训练2】 (1)(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关C.与a无关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关(2)(2020北京东城区一模)设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)有最小值，则实数a的取值范围是_.解析(1)因为最值在f(0)b，f(1)1ab，fb中取，所以最值之差一定与b无关
11、，但与a有关，故选B.(2)当a1，f(x)f(x)ex2x，x1，f(x)ex2，f(x)0，1xln 2；f(x)0，xln 2；故f(x)minf(ln 2)22ln 2；当f(x)x1(x1)，f(x)单调递增，故f(x)minf(1)0，又22ln 20，所以f(x)的最小值为0.当a0时，由以上知f(x)ex2x，xa单调递减，故f(x)f(a)；f(x)ax1(xa)单调递减，故f(x)f(a)，故f(x)无最小值，舍去；当a0时，f(x)最小值为1，成立，当a0时，f(x)ax1(xa)单调递增，故f(x)f(a)；对于f(x)ex2x，xa，当0aln 2，由以上知f(x)f
12、(a)，此时f(x)最小值在xa处取得，成立，当aln 2，由以上知f(x)f(ln 2)，此时f(x)最小值为minf(ln 2)，f(a)，即f(x)有最小值，综上a0.答案(1)B(2)00，)考点三函数单调性的应用 变式迁移【例3】 (1)如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么实数a的取值范围是_.(2)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，则不等式f(logx)0的解集为_.解析(1)对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数.所以解得a0可化为f(logx)f或f(logx)f，logx或logx0，解得0x或1x3.所以原不等式的解集为
13、.答案(1)(2)【变式迁移1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设mf()，nf(a)，tf(2)，试比较m，n，t的大小.解由例题知f(x)在(，)上是增函数，且a2，又a2，ff(a)f(2)，即mn0的解集是_.解析因为f(x)在R上为偶函数，且f0，所以f(logx)0等价于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上为减函数，所以，即logx，解得x3.答案规律方法(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转
14、化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A.2，2 B.1，1 C.0，4 D.1，3解析因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)1，于是1f(x2)1等价于f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.答案D基础巩固题组一、选择题1.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为()A.2 B.2 C.6 D.6解析由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，)，令3，a6.答案C2.(2016北京卷)下列函数中，在区间(
15、1，1)上为减函数的是()A.y B.ycos xC.yln(x1) D.y2x解析y与yln(x1)在(1，1)上为增函数，且ycos x在(1，1)上不具备单调性.A，B，C不满足题意.只有y2x在(1，1)上是减函数.答案D3.已知函数yf(x)的图象关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()A.cba B.bacC.bca D.abc解析函数图象关于x1对称，aff，又yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.答案B4.定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)在区间
16、2，2上的最大值等于()A.1 B.1 C.6 D.12解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数，f(x)的最大值为f(2)2326.答案C5.设f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A.(8，) B.(8，9C.8，9 D.(0，8)解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)
17、(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析当a1时，则yax为增函数，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)在0，)上为减函数，不合题意.当0a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数.(2)解f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，易知a.12.已知函数f(x)2x的定义域为(0，1(a为实数).(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)求函数yf(x)在区间(0，1上的
18、最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.解(1)当a1时，f(x)2x，任取1x1x20，则f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2).1x1x20，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)，f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(，1.(2)当a0时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a0时，f(x)2x，当1，即a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当1，即a(2，0)时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.能力提升题组
19、13.已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若存在f(a)g(b)，则实数b的取值范围为()A.0，3 B.(1，3)C.2，2 D.(2，2)解析由题可知f(x)ex11，g(x)x24x3(x2)211，若f(a)g(b)，则g(b)(1，1，即b24b31，即b24b20，解得2b0，对任意的x0，恒有|f(x)a|f(x0)a|，则f(x)可以为()A.f(x)lg x B.f(x)x22xC.f(x)2x D.f(x)sin x解析由aR，不妨设a0，g(x)|f(x)|，则原问题可看成存在x00，g(x)maxg(x0)|f(x0)|.对于A选项，g(x)|lg x|，结合其
20、函数图象知，g(x)存在最小值0，不存在最大值，排除A；对于B选项，g(x)|x22x|x22x|，g(x)存在最小值0，不存在最大值，排除B；对于C选项，g(x)|2x|2x，显然g(x)不存在最小值，也不存在最大值，排除C；对于D选项，g(x)|sin x|1，g(x)存在最大值，故选D.答案D15.已知tR，记函数f(x)|xt|在1，2上的最大值为H(t)，若H(t)1，则t的取值范围是_.解析记ux，当x1，2时，u2，3，所以H(t)max|2t|，|3t|1，解得t3或t2.答案(，32，)16.(一题多解)设函数f(x)，记M(a)为f(x)的最大值，则M(a)的最小值为_.解
21、析法一由题知当a0时，f(x)无最大值，故a0.由定义域知0x11，令(x1)cos2，代入f(x)，则有f(x)cos sin sin()，其中tan ，且a0，所以M(a)2(当且仅当a1时取到等号).法二由题知当a0时，f(x)无最大值，故a0，令导函数f(x)0，得唯一极大值点x1，所以M(a)f2(当且仅当a1时取到等号).答案217.已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1，4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，
22、定义域为(0，)，当a1时，定义域为x|x0且x1，当0a1时，定义域为x|0x1或x1.(2)设g(x)x2，当a(1，4)，x2，)时，g(x)10.因此g(x)在2，)上是增函数，f(x)在2，)上是增函数.则f(x)minf(2)lg.(3)对任意x2，)，恒有f(x)0，即x21对x2，)恒成立.a3xx2.令h(x)3xx2，x2，).由于h(x)在2，)上是减函数，h(x)maxh(2)2.故a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，).18.aR，设函数f(x)x|xa|x.(1)若a3，求函数f(x)的单调区间；(2)若a0，对于任意的x0，t，不等式1f(x)6恒
23、成立，求实数t的最大值及此时a的值.解(1)当a3时，f(x)函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(3，)，单调递减区间为(1，3).(2)当a0，x0，t时，xa恒成立，故f(x)x2(a1)x.当a1时，0，f(x)在0，t上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)maxf(t)t2(a1)t，由题意得f(x)max6，即t2(a1)t6，解得0t.令m(a1)0，h(m)在0，)上单调递减，所以h(x)maxh(0)，即当a1时，tmax.当1a0时，0，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf，满足f(x)min1.当0ta11时，f(x)maxf(0)0，满足题意，此时tmax1，a0；当ta1时，f(x)maxf(t)t2(a1)t，由题意得f(x)max6，即t2(a1)t6，解得a1t.令ma1，则0m1，h(m)在(0，1上单调递增，所以h(m)maxh(1)3，即当a0时，tmax3.综上所述，tmax3，此时a0.
