1、1数列不等式放缩题型分类考点分析由函数不等式化为数列不等式的方法x 1 lnx ln(1+x)x,(x 1)取：x=1n 则：1n ln(n+1)n取：x=1n+1 则：1n+1 ln(n+1)n题型一：指对数不等式化为数列不等式【精选例题】1 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由 y=lnx 在点(0,1)处的切线 y=x-1 写出不等式 lnx x-1，进而用 n+1n替换 x 得到一系列不等式，叠加后有 ln(n+1)1+12+13+1n 这些
2、不等式同样体现数学之美运用类似方法推导，下面的不等式正确的有()A.n!en n-12B.12+13+1n lnnC.1+1n21+2n2 1+nn2 e34D.122+233+nn+1n+1 ln n+1，其中 n N*23 已知函数 f(x)=ex-12 ax2-x.(1)若 f(x)在 x R 上单调递增，求 a 的值；(2)证明：(1+1)1+14 1+1n2 e2(n N*且 n 2).4 已知函数 f x=12 x2-xlnx+t t R.(1)g x是 f x的导函数，求 g x的最小值；(2)证明：对任意正整数 n n 2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n2
3、e(e=2718；n N*)6 已知函数 f x=ln x+1-xx+1.(1)求 f x的极值；(2)对任意的 n N*，求证：1n+1+1n+2+12n 1-1n+1，n N+8 已知函数 f x=alnx+a-1x.(1)若 xf x x-1 恒成立，求 a 的取值范围；(2)当 a=1 时，证明：f 22+f 33+f nn n2+12n+2-1924.5【跟踪训练】1 利用“lnx x-1”可得到许多与 n(n 2 且 n N*)有关的结论 ln n+1 12+13+1n，1+121+122 1+12n e，1nn+2nn+nnn 0)(1)若 f(x)0 在 1，+)上恒成立，求实
4、数 a 的取值范围；(2)证明：1+13+15+12n-1 12 ln(2n+1)+n2n+1(n N*)63 已知 f x=ln 1+x-x.(1)证明：f x 0；(2)证明：n 2 时，lnn 12+13+14+12n-1.4 已知函数 f x=x-1-alnx，a R.(1)若 f x存在极值，求 a 的取值范围；(2)若 f x 0，求 a 的值；(3)对于任意正整数 n，是否存在整数 m，使得不等式 1+121+122 1+12n m 成立？若存在，请求出 m 的最小值；若不存在，请说明理由.75 已知函数 f x=xlnx-m x-1，且 f x 0.(1)求实数 m 的取值范围
5、；(2)设 k 为整数，且对任意正整数 n，不等式 1+131+132 1+13n k 恒成立，求 k 的最小值；(3)证明：202320242024 1e 18+227+n-1n387 已知函数 f x=ln x+1-axex,0 a 1(1)判断函数 f x的零点个数；(2)证明：当 n N,n 1 时，证明：ln1+ln2+ln3+lnn 0 时，f(x)0 恒成立，求正整数 k 的最大值；()证明：(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)en 2-3n+19题型二：三角函数不等式化为数列不等式【精选例题】1 已知函数 f x=sinx-axx+2 0 x 0，求 a 的取值范围；(
6、3)证明：23-22n+3 nk=1sin1k k+1 1.2 已知函数 f x=xlnx-a x-1.(1)若 f x 0，求实数 a 的值；(2)已知 n N*且 n 2，求证：sin 12+sin 13+sin 1n lnn.103 已知函数 f x=tanx+ln 1-x,x -2,1.(1)求 f x的极值；(2)求证：ln n+12 tan 12+tan 13+tan 1n-1 时，f x g x，求实数 a 的取值范围；(2)已知 n N*，证明：sin1n+1+sin1n+2+sin 12n ln2.112 已知函数 f(x)=sinx-x+16 x3(1)证明：对 x 0,+),f(x)0 恒成立；(2)是否存在 n N，使得 ln2 sin11 3+sin12 4+sin1n(n+2)34 成立？请说明理由
