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2011届高考数学热点专题训练解答题3.doc

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资源描述

1、数学试题汇编专题训练解答题(3)【2010聊城一模】17(本小题满分12分) 已知函数且对于任意实数恒成立。 (1)求a的值; (2)求函数的最大值和单调递增区间。18(本小题满分12分) 某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可以继续参加科目B的考试。每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要参加这项考试,已知他每次考科目A成绩合格的概率均为,每次考科目B成绩合格的概率均为。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为X。 (1)求X的分布列和均值; (2)求该同学在这项考试中获得合格证

2、书的概率。19(本小题满分12分) 如图,在三棱锥PABC中,已知PC平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。 (1)求证:AB平面PBC; (2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为,求异面直线AP与BC所成的角; (3)在(2)的条件下,求二面角CPAB的余弦值。20(本小题满分12分) 已知等比数列中,分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且公比 (1)求数列的通项公式; (2)已知数列满足是数列的前n项和,求证:当21(本小题满分12分) 已知函数是的导函数。 (1)当a=2时,对于任意的的最小值; (2)若存在,使求a的取值范围。22(本小题满分14分) 已知

3、椭圆的离心率为其左、右焦点分别为,点P是坐标平面内一点,且(O为坐标原点)。 (1)求椭圆C的方程; (2)过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标和面积的最大值;若不存在,说明理由。【2010聊城一模】答案17解:(1)由已知得 即 所以4分又因为5分 (1)8分由此可知,函数的最大值为1。10分单调递增区间为:12分18解:(1)设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A,“科目A补考后成绩合格”为事件B,“第一次考科目B成绩合格”为事件B1,“科目B补考后成绩合格”为事件B2。 由题意知,X可能取得的值为:2,3

4、,42分 6分X的分布列为X234P 故8分 (2)设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C 则 故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为2分19解:(1)由于PC平面ABC, 由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上, 所以CD平面PAB。 又因为 因此AB平面PCB。3分 (2)因为PC平面ABC,所以为直线PC与平面ABC所成的角,于是,设AB=BC=1,则PC=AC=以B为原点建立如图所示空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),5分因为所以异面直线AP与BC所成的角为7分 (3)取AC的中点E,连结BE,则 因为AB=BC,所以BEAC。 又因为平面

5、PCA平面ABC, 所以BE平面PAC。 因此,是平面PAC的一个法向量。8分 设平面PAB的一个法向量为 则由得 取z=1,得 因此,10分 于是 又因为二面角CPAB为锐角。 故所求二面角的余弦值为12分20解:(1)由已知得 从而得 解得(舍去)4分 所以6分 (2)由于 因此所证不等式等价于:当n=5时,因为左边=32,右边=30,所以不等式成立;假设时不等式成立,即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由知,当成立。因此,当成立。12分21解:(1)由题意知令当x在-1,1上变化时,随x的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1-7-0+1-1-4-3的最小值为的对

6、称轴为且抛物线开口向下 的最小值为的最小值为-11。6分 (2)若上单调递减,又若当从而上单调递增,在上单调递减,根据题意,综上,a的取值范围是12分22解:(1)设则由由得即所以c=12分又因为3分因此所求椭圆的方程为:4分 (2)动直线的方程为:由得设则6分假设在y上存在定点M(0,m),满足题设,则由假设得对于任意的恒成立,即解得m=1。因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,点M的坐标为(0,1)10分这时,点M到AB的距离设则得所以当且仅当时,上式等号成立。因此,面积的最大值是14分【2010济宁一模】17(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半

7、轴上,直线AB的倾斜角为,设。 (1)用表示点B的坐标及|OA|。 (2)若的值。18(本小题满分12分)四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,底面ABCD是矩形,BC=2CD=2,又PA=PD,E、G分别是BC、PE的中点。 (1)求证:ADPE; (2)求二面角EADG的大小。19(本小题满分12分)甲、乙两人进行摸球游戏,每次摸取一个球,一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球,规则如下:若摸到红球,将此球放入袋中可继续再摸;若摸到黑球,将此球放入袋中则由对方摸球。 (1)求在前四次摸球中,甲恰好摸到两次红球的概率; (2)设随机变量表示前三次摸球中甲摸到红球的次数,求随机变量

8、的分布列及数学期望E。20(本小题满分12分)已知函数,其中为实常数。 (1)当时,恒成立,求的取值范围; (2)求函数的单调区间。21(本小题满分12分)已知数列满足 (1)求的值及数列的通项公式; (2)令,记数列的前项和为,求证22(本小题满分14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在轴上,离心率为,P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且面积的最大值为 (1)求椭圆C1的方程; (2)设椭圆短轴的上端点为A,M为动点,且成等差数列,求动点M的轨迹C2的方程; (3)作C2的切线交C1于O、R两点,求证:【2010济宁一模】答案17解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐

9、标为 2分在由正弦定得,得 4分即所以 6分注:若用直线AB方程求得也得分。 (2)由(1)得 8分因为所以 10分又所以 12分18解:解法一: (1)如图,取AD的中点O,连结OP,OE 2分又E是BC的中点, 4分又OPOE=0,平面OPE。而平面OPE, 6分 (2)取OE的中点F,连结FG,OG,则由(1)易知ADOG,又OEAD,就是二面角EADG的平面角 9分即二面角EADG的大小为45。 12分解法二: (1)同解法一。 (2)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),E(0,1,0) 8分设平面ADG的法向量为由,得 10分又平面

10、EAD的一个法向量为又因为 11分二面角EADG的大小为45。 12分19解:(1)设甲、乙两人摸到的球为红球分虽为事件A,事件B,前四次摸球中甲恰好摸到两次红球为事件C,则 2分则 4分 6分 (2)的所有取值分虽为0,1,2 10分的分布列为0123P 12分20解:(1)由题意知:则 2分令即在1,+)上单调递增 4分的取值范围是 6分 (2)由(1)知则 7分当,时,在上单调递减,上单调递增 9分当上单调递增 11综上所述,当的增区间为当 12分21解:(1)分别令可求得: 2分当为奇数时,不妨设,则为等差数列,即 4分当为偶数时,设,则为等比数列,故综上所述, 6分 (2) 8分,两

11、式相减: 10分,故 12分注:若求出猜想出 (1)问给2分,在上面基础上(2)问解答正确给8分。22解:(1)设椭圆C1的方程为, 2分由椭圆的几何笥质知,当点P为椭圆的短轴端点时,的面积最大。,由 解得故椭圆C1的方程为 5分 (2)由(1)知A(0,1),设则 7分整理得M的轨迹C2的方程为 10分 (3)当切线的斜率存在时,设,代入椭圆方程得:,设,则 11分,则又与C2相切,即,故 13分当切线的斜率不存在时,直线或此时综合得, 14分【2010临沂一模】17(本小题满分12分)已知函数为偶函数,其图象上相邻的一个最高点和一个 最低点之间的距离为 (1)求的解析式; (2)若,求的值

12、。18(本小题满分12分)如图,四棱锥SABCD的底面是边长为的菱形,且,点E是SC上的点,且 (1)求证:对任意的,都有; (2)若平面BED,求直线SA与平面BED所成角的大小。19(本小题满分12分)已知各项全不为零的数列的前项和为,且,其中 (1)求数列的通项公式; (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项。20(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了一种病毒,已知A是第一个感染者,B肯定是受A感染的,对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同样也假定D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X、直接

13、受B感染的人数Y、直接受C感染的人数Z是三个随机变量。 (1)分别写出X、Y、Z的分布列; (2)求EX+EY+EZ的值。21(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点是椭圆的中心,其焦点与该椭圆的右焦点重合。 (1)求抛物线C的方程; (2)过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点,自M、N点向准线作垂线,垂足分别为M1、N1,记的面积分别为S1、S2、S3是否存在实数,使得对任意过焦点的直线,都有成立,若存在, 求的值;若不存在,说明理由。22(本小题满分14分)已知函数 (1)若函数在0,+)内为增函数,求正实数的取值范围; (2)当时,求上的最大值和最小值; (3)试利用(1)的结论

14、,证明:对于大于1的任意正整数,都有【2010临沂一模】答案17(满分12分)解:(1)设最高点为,相邻的最低点为,则 2分由其图象得 3分由,得 4分是偶函数,得 5分又, 6分注:由是偶函数, 直接得的不扣分。 (2) 7分 8分 9分 10分 11分 12分18解:(1)连结BD,AC,设BD与AC交于O。 1分由底面是菱形,得 2分,O为BD中点 3分又,面SAC 4分又面SAC, 5分 (2)取SC的中点F,连结OF,OE,与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角 6分平面BED,面BED,E为垂足,为所求角 7分在等腰中,得底边SB上的高为 9分在 10分在中, 11分即直

15、线SA与平面BED所成角为 12分 (2)法二:由(1)知,同理可证,平面AC,取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系,设,则,解得,则A 7分平面EBD,是平面EBD的法向量。设SA与平面BED所成角为,则 11分即SA与平面BED所成的角为19解:(1)时, 1分时, 3分 4分令得令得故 6分 (2) 7分 8分必为正整数, 9分当时,由得为数列中第3项 11分故所求 12分20解:(1)因为直接受A感染的人至少是B,而C、D二人也有可能是由A感染的,所以X=1,2,3设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D,则B、C、D是相互独立的,并且,表明除了B外,C、D都不是由A感染的,

16、 2分X=2,表明除了B外,C、D二人中恰有1人是由A感染的, 4分X=3,表明B、C、D都是由A感染的,所以 5分的分布列为:X123P6分同理,Y的分布列为:Y123P8分Z的分布列为:Z01P10分 (2) 11分 12分21解(1)由题意,设抛物线为 1分由 2分抛物线的焦点为(1,0) 3分抛物线C的方程为 4分 (2)当斜率存在时,设直线为 5分联立,消去得则, 8分 9分 10分当斜率不存在时,直线为,可求得,亦有 11分故存在实数4,使得成立。 12分22解:(1)函数在0,+)恒成立 2分对任意恒成立,即对任意恒成立 3分而当时, 4分 (2)当,时,在上单调递减, 5分当时,在(0,1上单调递增 6分在上有唯一极小值点。故 7分又 8分,即 9分上的最大值为综上,函数上的最大值是,最小值是0。 10分 (3)法一:用数学归纳法。 当时,要证,只要证显然成立。 11分 假设当时,不等式成 立则当时, 12分要证成立,只要证,即令,则上式化为只要证:由(1)知,当时,在0,+)内是增函数,故有,好成立,而(*)中,即(*)式成立,当1时,不等式成立,由知对任意的正整数不等式都成立。 14分法二:由(1)知,当时,在0,+)上是增函数,故有,即成立。 11分令,则有,即 12分由此得则 13分即得故对大于1的任意正整数,都有 14分

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