1、数学试题汇编专题训练解答题（3）【2010聊城一模】17（本小题满分12分） 已知函数且对于任意实数恒成立。 （1）求a的值； （2）求函数的最大值和单调递增区间。18（本小题满分12分） 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为，每次考科目B成绩合格的概率均为。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X。 （1）求X的分布列和均值； （2）求该同学在这项考试中获得合格证
2、书的概率。19（本小题满分12分） 如图，在三棱锥PABC中，已知PC平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。 （1）求证：AB平面PBC； （2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为，求异面直线AP与BC所成的角； （3）在（2）的条件下，求二面角CPAB的余弦值。20（本小题满分12分） 已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当21（本小题满分12分） 已知函数是的导函数。 （1）当a=2时，对于任意的的最小值； （2）若存在，使求a的取值范围。22（本小题满分14分） 已知
3、椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。【2010聊城一模】答案17解：（1）由已知得 即 所以4分又因为5分 （1）8分由此可知，函数的最大值为1。10分单调递增区间为：12分18解：（1）设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A，“科目A补考后成绩合格”为事件B，“第一次考科目B成绩合格”为事件B1，“科目B补考后成绩合格”为事件B2。 由题意知，X可能取得的值为：2，3
4、，42分 6分X的分布列为X234P 故8分 （2）设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C 则 故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为2分19解：（1）由于PC平面ABC， 由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上， 所以CD平面PAB。 又因为 因此AB平面PCB。3分 （2）因为PC平面ABC，所以为直线PC与平面ABC所成的角，于是，设AB=BC=1，则PC=AC=以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），5分因为所以异面直线AP与BC所成的角为7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则 因为AB=BC，所以BEAC。 又因为平面
5、PCA平面ABC， 所以BE平面PAC。 因此，是平面PAC的一个法向量。8分 设平面PAB的一个法向量为 则由得 取z=1，得 因此，10分 于是 又因为二面角CPAB为锐角。 故所求二面角的余弦值为12分20解：（1）由已知得 从而得 解得（舍去）4分 所以6分 （2）由于 因此所证不等式等价于：当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；假设时不等式成立，即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由知，当成立。因此，当成立。12分21解：（1）由题意知令当x在-1，1上变化时，随x的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1-7-0+1-1-4-3的最小值为的对
6、称轴为且抛物线开口向下 的最小值为的最小值为-11。6分 （2）若上单调递减，又若当从而上单调递增，在上单调递减，根据题意，综上，a的取值范围是12分22解：（1）设则由由得即所以c=12分又因为3分因此所求椭圆的方程为：4分 （2）动直线的方程为：由得设则6分假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）10分这时，点M到AB的距离设则得所以当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是14分【2010济宁一模】17（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半
7、轴上，直线AB的倾斜角为，设。 （1）用表示点B的坐标及|OA|。 （2）若的值。18（本小题满分12分）四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，E、G分别是BC、PE的中点。 （1）求证：ADPE； （2）求二面角EADG的大小。19（本小题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，每次摸取一个球，一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，规则如下：若摸到红球，将此球放入袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放入袋中则由对方摸球。 （1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的概率； （2）设随机变量表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量
8、的分布列及数学期望E。20（本小题满分12分）已知函数，其中为实常数。 （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）求函数的单调区间。21（本小题满分12分）已知数列满足 （1）求的值及数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证22（本小题满分14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为 （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程； （3）作C2的切线交C1于O、R两点，求证：【2010济宁一模】答案17解：（1）由三角函数的定义，得点B的坐
9、标为 2分在由正弦定得，得 4分即所以 6分注：若用直线AB方程求得也得分。 （2）由（1）得 8分因为所以 10分又所以 12分18解：解法一： （1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE 2分又E是BC的中点， 4分又OPOE=0，平面OPE。而平面OPE， 6分 （2）取OE的中点F，连结FG，OG，则由（1）易知ADOG，又OEAD，就是二面角EADG的平面角 9分即二面角EADG的大小为45。 12分解法二： （1）同解法一。 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0） 8分设平面ADG的法向量为由，得 10分又平面
10、EAD的一个法向量为又因为 11分二面角EADG的大小为45。 12分19解：（1）设甲、乙两人摸到的球为红球分虽为事件A，事件B，前四次摸球中甲恰好摸到两次红球为事件C，则 2分则 4分 6分 （2）的所有取值分虽为0，1，2 10分的分布列为0123P 12分20解：（1）由题意知：则 2分令即在1，+）上单调递增 4分的取值范围是 6分 （2）由（1）知则 7分当，时，在上单调递减，上单调递增 9分当上单调递增 11综上所述，当的增区间为当 12分21解：（1）分别令可求得： 2分当为奇数时，不妨设，则为等差数列，即 4分当为偶数时，设，则为等比数列，故综上所述， 6分 （2） 8分，两
11、式相减： 10分，故 12分注：若求出猜想出 （1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。22解：（1）设椭圆C1的方程为， 2分由椭圆的几何笥质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大。，由 解得故椭圆C1的方程为 5分 （2）由（1）知A（0，1），设则 7分整理得M的轨迹C2的方程为 10分 （3）当切线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得：，设，则 11分，则又与C2相切，即，故 13分当切线的斜率不存在时，直线或此时综合得， 14分【2010临沂一模】17（本小题满分12分）已知函数为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和一个 最低点之间的距离为 （1）求的解析式； （2）若，求的值
12、。18（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为的菱形，且，点E是SC上的点，且 （1）求证：对任意的，都有； （2）若平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小。19（本小题满分12分）已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中 （1）求数列的通项公式； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。20（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了一种病毒，已知A是第一个感染者，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X、直接
13、受B感染的人数Y、直接受C感染的人数Z是三个随机变量。 （1）分别写出X、Y、Z的分布列； （2）求EX+EY+EZ的值。21（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，其焦点与该椭圆的右焦点重合。 （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点，自M、N点向准线作垂线，垂足分别为M1、N1，记的面积分别为S1、S2、S3是否存在实数，使得对任意过焦点的直线，都有成立，若存在， 求的值；若不存在，说明理由。22（本小题满分14分）已知函数 （1）若函数在0，+）内为增函数，求正实数的取值范围； （2）当时，求上的最大值和最小值； （3）试利用（1）的结论
14、，证明：对于大于1的任意正整数，都有【2010临沂一模】答案17（满分12分）解：（1）设最高点为，相邻的最低点为，则 2分由其图象得 3分由，得 4分是偶函数，得 5分又， 6分注：由是偶函数， 直接得的不扣分。 （2） 7分 8分 9分 10分 11分 12分18解：（1）连结BD，AC，设BD与AC交于O。 1分由底面是菱形，得 2分，O为BD中点 3分又，面SAC 4分又面SAC， 5分 （2）取SC的中点F，连结OF，OE，与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角 6分平面BED，面BED，E为垂足，为所求角 7分在等腰中，得底边SB上的高为 9分在 10分在中， 11分即直
15、线SA与平面BED所成角为 12分 （2）法二：由（1）知，同理可证，平面AC，取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设，则，解得，则A 7分平面EBD，是平面EBD的法向量。设SA与平面BED所成角为，则 11分即SA与平面BED所成的角为19解：（1）时， 1分时， 3分 4分令得令得故 6分 （2） 7分 8分必为正整数， 9分当时，由得为数列中第3项 11分故所求 12分20解：（1）因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，所以X=1，2，3设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，则B、C、D是相互独立的，并且，表明除了B外，C、D都不是由A感染的，
16、 2分X=2，表明除了B外，C、D二人中恰有1人是由A感染的， 4分X=3，表明B、C、D都是由A感染的，所以 5分的分布列为：X123P6分同理，Y的分布列为：Y123P8分Z的分布列为：Z01P10分 （2） 11分 12分21解（1）由题意，设抛物线为 1分由 2分抛物线的焦点为（1，0） 3分抛物线C的方程为 4分 （2）当斜率存在时，设直线为 5分联立，消去得则， 8分 9分 10分当斜率不存在时，直线为，可求得，亦有 11分故存在实数4，使得成立。 12分22解：（1）函数在0，+）恒成立 2分对任意恒成立，即对任意恒成立 3分而当时， 4分 （2）当，时，在上单调递减， 5分当时，在（0，1上单调递增 6分在上有唯一极小值点。故 7分又 8分，即 9分上的最大值为综上，函数上的最大值是，最小值是0。 10分 （3）法一：用数学归纳法。 当时，要证，只要证显然成立。 11分 假设当时，不等式成 立则当时， 12分要证成立，只要证，即令，则上式化为只要证：由（1）知，当时，在0，+）内是增函数，故有，好成立，而（*）中，即（*）式成立，当1时，不等式成立，由知对任意的正整数不等式都成立。 14分法二：由（1）知，当时，在0，+）上是增函数，故有，即成立。 11分令，则有，即 12分由此得则 13分即得故对大于1的任意正整数，都有 14分