1、河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 关于的方程的一个根是，则另一根的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据两根之和，知令一根是，所以虚部是，故选C.考点：1.根与系数的关系；2.复数的定义；3.实部和虚部.2. 用反证法证明命题“，至少有一个为0”时，应假设（ ）A. ，没有一个为0B. ，只有一个为0C. ，至多有一个为0D. ，两个都为0【答案】A【解析】【分析】由题意结合反证法的概念，直接写出原命题的否定即可得解.【详解】
2、在使用反证法时，需要假设原命题的否定正确，对命题“，至少有一个为0”的否定为“，没有一个为0”，所以应假设，没有一个为0.故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于概念的准确理解，属于基础题.3. 下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A. B. C. D. 【答案】C【解析】是类比推理；是归纳推理，都是
3、合情推理故答案为:C.4. 已知随机变量，则（ ）（参考数据，）A. 0.6826B. 0.3413C. 0.0026D. 0.4772【答案】D【解析】【分析】由题意结合正态分布的性质可得，即可得解.【详解】因为随机变量，所以该正态分布，所以.故选：D.【点睛】本题考查了正态分布性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对正态分布性质的熟练掌握，属于基础题.5. 甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的
4、基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；所以.故选：A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.6. 某运动员投篮命中率为0.6.他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为，得分为，则，分别为（ ）A. 0.6，60B. 3，12C. 3，120D. 3，1.2
5、【答案】C【解析】本题考查离散型随机变量的分布列,二项分布的期望和方差及性质.若则，其中是常数根据题意知，则故选C7. 从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为( )A. 208B. 204C. 200D. 196【答案】C【解析】【详解】根据题意，从12个顶点中任取3个，有 =220种取法，而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有：三点都在三条水平边上，有3=12种，三点都在4条竖直边上，有4=4种，三点在正方形的对角线方向上，如图，有4种情况，则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有12+4+4=20种；则可以构成三角形的组数为220-20
6、=200组；8. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】将原式化为,则利用定积分的几何意义和性质即可求出答案.【详解】,因为是奇函数,所以;又表示与轴所围部分的面积,即圆面积的一半,所以,因此,故选:A.【点睛】本题考查了定积分的几何意义,考查了学生的计算能力,难度不大.9. 在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对.A. 152B. 164C. 174D. 182【答案】C【解析】【分析】计算不在同一个平面的4个点有组，每一组不共面的4个点形成3对异面直线，计算得到答案.【详解】在同一个平面内的4个点共有12组（6组为对角面，6组为正方体的底面和侧面），
7、故不在同一个平面的4个点有组，每一组不共面的4个点形成3对异面直线，故共有条异面直线.故选：C.【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若
8、乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.考点】概率统计分析【名师点睛】本题创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.11. 已知等式，定义映射，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题
9、分析：本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=0，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，b1+b2+b3+b4=0故排除B故应选C考点：二项式定理点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型12. 现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶
10、的底面半径与高的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设单位面积铁的价格为，得到造价函数，求导得到单调区间，计算最小值，得到答案.【详解】设单位面积铁的价格为，则造价，取，得到，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故时，造价最小，此时.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求最值，导数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：请把答案填在题中横线上13. 定积分_.【答案】1【解析】【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分，利用定积分公式计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.14. 的展开
11、式中的系数为_.【答案】-6480【解析】【分析】，利用二项式定理得到，再展开，计算得到答案.【详解】，展开式的通项为：，取，则，的展开式的通项为：，取，得到，故的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15. 把13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为_.【答案】20【解析】【分析】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，讨论剩余小球放入一个，两个，三个盒子，计算得到答案.【详解】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，若3个小球都放入一个盒子，有4种
12、放法；若3个小球放入两个盒子，有种放法；若3个小球放入三个盒子，有4种放法.故不同的方法有种.故答案为：.【点睛】本题考查了分类原理和排列，意在考查学生的计算能力和应用能力，先将每个盒子放入编号相同的小球是解题的关键.16. 若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设，变换得到，设，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】，则，设，即有两个不同的根，易知，故，设，则，易知为单调递增函数，且，故在上单调递减，在上单调递增，画出函数图像，如图所示：故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数解决方程解的问
13、题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离画出图像是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题）17. 已知，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项【答案】（1）70（2）（2x）10【解析】【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为，由题意可得关于n的方程，求出n而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式
14、组求得，假设项的系数最大，项的系数为，则有试题解析：（1）通项Tr1nr（2x）r22rnxr，由题意知，成等差数列，n14或7.当n14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为227143 432；当n7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为2237=，2247=70.（2）由题意知79，n12或n13（舍） Tr122r12xr.由得r10.展开式中系数最大的项为T11221012x10（2x）10.考点：二项式定理的应用18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20
15、人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：， 【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【解析】【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表（3）由公式计算出
16、，再与6.635比较可得结果详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟
17、，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的
18、效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活19. 一种电脑屏幕保护画面，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”概率为，出现“”的概率为，若第次出现“”，则记；若第次出现“”，则记，记.（1）若，求的分布列及数学期望；（2）若，求且（=1，2，3，4）的概率.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析】（1）可取，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.（2）根据题意考虑第一、三秒出现“”和第一、二秒出现“”，第三秒出现“”两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由题意得可取，故的分布列如下：
19、.（2）当时，即前八秒出现“”5次和“”3次，又已知（=1，2，3，4），若第一、三秒出现“”，则其余六秒可任意出现三次“”；若第一、二秒出现“”，则第三秒出现“”，则后五秒可任出现“”三次，故概率为：.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克
20、时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系；(2) ，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数，由可得可用线性回归模型拟合与的关系；（2）求出与的值，得到线性回归方程，取求得值得答案【详解】（1）因为，可用线性回归模型拟合与的关系；（2），当时，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克【点睛】本题主要考查线性相关系数的计算和它的数值大小对相关程度的影响的理解，线性回
21、归方程的求法以及利用方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题21. 已知函数，其中为常数.（1）当时，求的最大值，并判断方程是否有实数解；（2）若在区间上的最大值为，求的值.【答案】（1）-1，没有实数解（2）【解析】【分析】（1）求导计算单调区间得到，故，求导计算单调区间得到，得到答案.（2）求导，讨论和两种情况，计算单调性得到最值，得到，解得答案.【详解】（1）当时，.当时，；当时，.在上是增函数，在上是减函数，.令，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，即，方程没有实数解.（2），.若，则，在上为增函数，不合题意.若，则由，故，即，由得到，即.从而在上为增函数，在上
22、为减函数，.令，则，即.，为所求.【点睛】本题考查了利用导数研究方程解的问题，根据函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22. 设函数（1）求函数的极值点；（2）当时，对，是否有不等式恒成立，并说明理由.【答案】（1）极大值点.（2）有，见解析【解析】【分析】（1）求导，讨论和两种情况，根据单调性得到极值点.（2）根据题意，故只需证明，设，求导得到单调性，计算最值得到证明.【详解】（1），的定义域为，当时，在上无极值点.当时，令，、随的变化情况如下表：+0-递增极大值递减从上表可以看出：当时，有唯一极大值点.（2）由（1）可知，当时，在处取得极大值，此极大值也是最大值，当时，即，当且仅当时取等.易得：，又时，假设不等式恒成立，则有即，令，当时，时增函数， ，故当时，对，不等式恒成立.【点睛】本题考查了求函数的极值点，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.
