1、河南省郑州市第五中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解.【详解】由集合的交运算，可得.故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.已知，若，则实数的值为（ ）A. B. 2C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】先求，再判断函数值的正负，代入对应的解析式求解.【详解】因为，故，又，故解得：.故选：D.【点睛】本题考查由函数值计算参数的值，涉及指数运算以及对数运算，属综合基础题.3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
2、分析】对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.【详解】欲使函数有意义，则，即解得故选：C.【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数，被开方数非负，以及分母不为零.4.若的定义域为，值域为，则的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解.【详解】因为是将原函数，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故的值域为.故选：A.【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响.5.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将选
3、项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间.【详解】因为，而则，根据零点存在性定理可知函数零点所在区间为：.故选：C.【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6.设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将与1和0进行比较，从而得出结果.【详解】，且，故，故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分.7.设，幂函数，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可.【详解】因为是幂函数，故，解得，则
4、，其在为单调增函数，则不等式等价于，解得.故选：B.【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式.8.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择.【详解】因为定义域为R，故排除C、D选项；又，故，故排除B.故选：A.【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9.已知函数的最小值为3，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可.【详解】若在R上恒成立，则根据复合函
5、数的单调性可知，区间单调递减，则单调递增，故，解得，此时满足在R上恒成立，若在R上不恒成立，则该函数没有最值.综上所述：.故选：D.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10.常见的三阶魔方约有种不同的状态，将这个数记为，二阶魔方有种不同的状态，将这个数记为，则下列各数与最接近的是（ ）（参考数据：）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算.【详解】由题可知：=两边取对数可得故解得：，故与之最接近的为.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.
6、11.已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】对分离参数，构造一个奇函数，再进行求解.【详解】因为=1+不妨令，显然为奇函数，故，则.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12.设函数若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论.【详解】为方便说明，不妨令，因为是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1；对，因为，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当有两个零点，只有下面两
7、种可能：当时，即时，在其定义域内有1个零点，此时只要保证在其定义域1个零点即可，等价于方程有1个根在区间，只需，即：，解得或且，解得，故当，即时，在其定义域内没有零点，此时只要保证在其定义域2个零点即可等价于方程有2个根在区间，只需，解得综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题：13.已知函数的图象恒过点，则的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点即可求得.【详解】因为恒过定点，又函数是由向上平移2个单位得到，故恒过定点.故答案为：.【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，
8、其一般思路为，根据函数图像变换进行求解.14.已知集合，且，则实数的值为_.【答案】或【解析】【分析】根据题意得到方程解得答案.【详解】，则或故答案为或【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.15.已知函数的定义域、值域都是，则_【答案】或.【解析】分析：分类讨论a的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.详解：当时，易知函数为减函数，由题意有，解得：，符合题意，此时；当时，易知函数为增函数，由题意有，解得，符合题意，此时.综上可得：的值为或.故答案为或.点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对
9、数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论16.已知是定义在上的奇函数，且当时，则方程的所有实根之和为_.【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解.【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为在区间上，关于对称，且在区间上，关于对称，故其与直线的所有交点的横坐标之和为0.故所有根之和，即为当时的根，此时，解得.故答案为：.【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题：17.计算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；（2）根据对数
10、运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】解：（1）原式=-4（2）原式.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）函数在上单调递增，由得，.（2）.若，则，解得.若，则，解得.实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19.已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数的定义域和值域； （3）判断函数的奇偶性并证明.
11、【答案】（1）1；（2）定义域为，值域为；（3）是奇函数，证明见详解.【解析】【分析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与之间的关系.【详解】（1）由题意知，解得.（2）因为.，的定义域为.，的值域为.（3）函数是奇函数.证明如下：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20.某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据
12、市场分析预测：甲项目收益与投入满足，乙项目的收益与投入满足.设甲项目的投入为.（1）求两个项目的总收益关于的函数.（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【解析】【分析】（1）根据题意，列出函数解析式，再根据题目要求，求解定义域；（2）将函数进行还原，转化为求解二次函数的最大值问题.【详解】（1）由题知，甲项目投资万元，乙项目投资万元.所以整理得：依题意得解得.故.（2）令，则. 当，即时，的最大值为360.所以当甲项目投资
13、500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及二次函数最大值问题，属函数应用基础题.21.已知函数（1）若函数是偶函数，求的值， （2）若当时恒成立，求的取值范围.【答案】（1）-4；（2）【解析】【分析】（1）由函数是偶函数推得其对称轴为，据此求参数；（2）将恒成立问题转化为函数最值的问题，对对称轴和区间的相对位置展开讨论.【详解】（1）由题得，函数是偶函数，可得函数的图象关于对称，即，得.（2）因为当时，恒成立，所以.由题可知的对称轴为.当，即时，在上单调递增，此时，得，所以；当，即时在上单调递减，此时，得，不符合条件；当，即时
14、，在上单调减，在上单调递增，此时，得，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数值，以及二次函数恒成立问题，涉及二次函数动轴定区间问题的处理.22.设,函数 ,且求的最大值若方程在区间上存在实根,求出所有可能的值【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）由求得，分段考查函数值的取值范围可得最大值（2）由，分类讨论，分，和三类讨论其零点，其中可由得出，主要是的解都是成对出现的【详解】（1）由得,解得当时,当时,单调递减,所以的最大值为（2）由（1）知当时,由得,解得,因为,故可取当时,，由得,整理得设,易知在上单调递减又因为,所以在上存在唯- -点,从而原方程在,上有且仅有一个实根.故可取当非零实数满足时,也满足,即原方程的非零实根总是成对出现,所以在上也仅有一个实根,故可取.综上所述,的值可以为【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题通过零点存在定理可确定函数零点所在区间对分段函数一般需要分类讨论
