1、1.3.2 函数的极值与导数 函数的极值与导数 内容：函数极值的概念及其与 导数的关系 应用 求函数的极值 给函数的极值求函数的解析式 给函数的极值求函数的单调区间 本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通过
2、解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限转动最高点问题.摆锤极限转动最高点跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 其图象如右.thotho a0)(ah0)(th单调递增0)(th单调递减yoxdbfcaehg对于d点,函数y=f(x
3、)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，=0.在点x=d 附近的左侧0)(xf)(xf 我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.yoxdbfcaehg在点 x=e 附近的左侧0在点 x=e 附近的右侧0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正
4、变负,则函数y由增变为减,且有极大值D 例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解：=3x2-12=3(x-2)(x+2)(xf 令=0)(xf 得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当0即x2,或x-2时;)(xf(2)当0即-2x0,得x1,所以f(x)的单调增区间为(-,-2)(1,+)(xf)(xf 由0,得-2x0,列表如下:x-1(-1,1)1+00+f(x)极大值 极小值 )(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-000-f(x)极小值 极大值
5、)1,(),1()(xf 由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值 为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.)(xf 又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或.33114baba当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2 xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf当-11/3x1时,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b
6、=-11.)(xf)(xf 一般地,求函数的极值的方法是:解方程 =0.当 =0时.如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf即“峰顶”即“谷底”abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O1.（2014年天津)函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1 B.2 C.3 D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfA f(x)0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别必做题:2.函数 在 时有极值10，则a，b的值为
7、（）A.或 B.或 C.D.以上都不对 223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC 解:由题设条件得：解之得注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验3.求下列函数的极值:xxy 11）（16128223xxxy）（1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .注意：导数与方程、不等式的结合应用选做题:32()f xaxbxcx2.(2012年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1)的值；（2）a,b,c的值；0 x()yfx0 x略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
