1、第4讲不等式考情分析1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度考点一不等式的性质与解法核心提炼1不等式的倒数性质(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.2不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a对一切xI恒成立f(x)mina，xI；f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxg(x)对一切xI恒成立当xI时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法例1(1)若p1,0mn1B.Cmplognp答案D解析方法一设m，n，p2，逐个代入可知D正确方法二对
2、于选项A，因为0mn1，所以01，所以0p0，所以，故B不正确；对于选项C，由于函数yxp在(0，)上为减函数，且0mnnp，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p1,0mnlognp，故D正确(2)(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式axb0的解集是2，)，则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0的解集是()A(，3)(2，) B(3,2)C(，2)(3，) D(2,3)答案A解析由关于x的不等式axb0的解集是2，)，得b2a且a0，则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0，即(x3)(x2)0，解得x2，所以不等式的解集为(，3)(2，)易错提醒求解
3、含参不等式ax2bxc0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a0时的情况(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解(3)不考虑a的符号跟踪演练1(1)已知函数f(x)则不等式x2f(x)x20的解集是_答案x|1x1解析由x2f(x)x20，得或即或1x或x1，原不等式的解集为x|1x1(2)若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.2答案B解析当a240时，解得a2或a2，当a2时，不等式可化为4x10，解集不是空集，不符合题意；当a2时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集当a240时，要使不等式的解集为空集，则有解得
4、2a0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值例2(1)下列不等式的证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若a0，则a24C若a，b(0，)，则lgalgb2D若aR，则2a2a22答案D解析由于，的符号不确定，故选项A错误；a0,2a0，2a2a22(当且仅当a0时，等号成立)，故选项D正确(2)(2019天津)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_答案4解析2.由x2y5得52，即，即xy，当且仅当x2y时等号成立所以224，当且仅当2，即xy3时取等号，结合xy可知，xy可以取到3，故的最小值为4.易错提醒运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相
5、等”所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到跟踪演练2(1)(2020北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a0，b0，且ab1，则2a的最小值为_答案22解析a0，b0，由ab1，得a1b，2a22b2222，当且仅当b时，等号成立，2a的最小值为22.(2)(2020江苏)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_答案解析方法一由题意知y0.由5x2y2y41，可得x2，所以x2y2y22，当且仅当4y2，即y时取等号所以x2y2的最小
6、值为.方法二设x2y2t0，则x2ty2.因为5x2y2y41，所以5(ty2)y2y41，所以4y45ty210.由25t2160，解得t.故x2y2的最小值为.专题强化练一、单项选择题1不等式(x3)(x1)0的解集是()Ax|1x3Bx|1x3Cx|x3Dx|x3答案D解析不等式即(x3)(x1)0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为x|x32下列命题中正确的是()A若ab，则ac2bc2B若ab，cC若ab，cd，则acbdD若ab0，ab，则答案D解析对于A选项，当c0时，不成立，故A选项错误当a1，b0，c2，d1时，故B选项错误当a1，b0，c1，d0时，acbd，故
7、C选项错误由不等式的性质知D正确3(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x3，则f(10x)0的解集为()Ax|xlg3Bx|2xlg3Dx|xlg3答案D解析一元二次不等式f(x)0的解集为x|x3，则f(x)0的解集为x|2x0可化为210x3，解得xlg3，所以所求不等式的解集为x|xb0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aalog2(ab)B.log2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a1,0b1，log221，aabalog2(ab)5(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0C
8、ab0abDab0log0.210，blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310，01，abab0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3B4C.D.答案B解析由题意得x2y8x2y82，当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，所以x2y的最小值为4.故选B.7已知a1，b2，(a1)(b2)16，则ab的最小值是()A4B5C6D7答案B解析由a1，b2，得a10，b20，ab(a1)(b2)3232435，当且仅当a1b24，即a3，b2时等号成立，所以ab的最小值是5.8已
9、知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则当取得最大值时，的最大值为()A3B.C1D0答案C解析由正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，得1，当且仅当，即a3b时，取最大值，又因为a22ab9b2c0，所以此时c12b2，所以1，当且仅当b1时等号成立故最大值为1.二、多项选择题9设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，rf(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrBpq答案BC解析r(lnalnb)pln，plnqln.10已知aZ，关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是()A6B7C8D9答案ABC解析方法一设yx26xa，则其图象为
10、开口向上，对称轴是x3的抛物线，如图所示若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则解得5a8，又aZ，故a可以为6,7,8.方法二分离常数，得ax26x，函数yx26x的图象及直线ya，如图所示，由图易知5b的充要条件为()A.BlnalnbCalnablnbDabb0，所以b0lnalnb，故B正确；对于C，设f(x)xlnx，则f(x)lnx1(x0)，令f(x)0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以ab0不能推出alna0)，则g(x)1ex.因为x0，所以ex1，所以g(x)b0时，g(a)g(b)，即aeabeb，即ab0，b0，且abb，必要性成
11、立，故D正确12(2020新高考全国)已知a0，b0，且ab1，则()Aa2b2B2abClog2alog2b2D.答案ABD解析因为a0，b0，ab1，所以ab2，当且仅当ab时，等号成立，即有ab.对于A，a2b2(ab)22ab12ab12，故A正确；对于B,2ab22a122a，因为a0，所以22a1，即2ab，故B正确；对于C，log2alog2blog2ablog22，故C错误；对于D，由()2ab2122，得，故D正确三、填空题13对于0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga；a1aa1.其中正确的是_(填序号)答案解析由于0a1，所以函数f(x)logax和g(x)
12、ax在定义域上都是单调递减函数，而且1a0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(1，)解析x(0，)，mx2(m1)xm0恒成立，m(x2x1)x恒成立，又x2x120，m恒成立，当x(0，)时，1，当且仅当x，即x1时取“”m1.15已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_答案解析由f(x)x32xex，得f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，又xR，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(x)3x22ex3x2223x20，当且仅当x0时“”成立，所以f(x)在R上单调递增，因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)所以2a21a，即2a2a10，解得1a.16已知实数x，y满足x1，y0且x4y11，则的最大值为_答案9解析x4y11，(x1)4y10，又(x1)4y5529，当且仅当，即2yx10时等号成立，9，令t，则t(10t)9，即t210t90，1t9，的最大值为9.
