1、专题13.11 等腰三角形（巩固篇）（专项练习）一、单选题1等腰三角形的一个外角等于130，则它的顶角为（）A50B80C50或80D40或652已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（）A8B6或8C7D7或83如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线按下列步骤作图：分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，相交于M、N两点；直线MN交AD于点E；连接EB下列结论中错误的是（）AADBCBEAEBCAEB2ACBDEBD2EBA4如图，在ABC中，小美同学按以下步骤作图：以点C为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD；分别以点B，D为圆心，以大
2、于BD的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线CE交BD于点F，连接AF若ABC的面积为10，则ACF的面积为（）A2.5B5C7.5D85如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，过AB的中点E作FEAB，垂足为E下列说法正确的有（）个AFBF；ADBC；BFAC；若AB10，BD4，则BCF的周长为18A1B2C3D46如图，已知直线，将等边三角形如图放置若，则等于（）A17B22C27D327如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（）A2B3C4D8如图，是正三角形（等边三角形），D、E分别是边BC、
3、AC上的两点，且，AD与BE相交于点P，则下列结论正确的是（）；ABCD9ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边EQF（点F在EQ的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论FQCQEB；FQFC；PB+QC=AE；当AFAB时，BC4PB，其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个10如图，ABC 中，ACDC3，BD 垂直BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A6B4.5C3D2二、填空题11等腰三角形的周长为，若有一边长为，则等腰三角形的其他两边长分别是_12
4、如图，中，H是高的交点，且，则_13如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，他不小心将三角尺掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直），已知DC=3cm，CE4cm，则两条凳子的高度之和为 _cm14如图，ABC中，ABAC，BC，AB的垂直平分线交BC于点D且BDCD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE_15如图，AB=AC=CD，CDAB于E，BDBC于B，BC=4，则BCD的面积是_16如图，等边ABC中，AB2，高线AH，D是AH上一动点，以BD为边向下作等边BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长为_17如图，在ABC中，ABAC10，BC16，AD6，AD是B
5、AC的角平分线若E，F分别是AD和AC上的动点，则ECEF的最小值是_18如图，中，E是线段上一点，于D，四边形的面积为8，则的面积为_三、解答题19已知：如图，中，E在的延长线上，若，求的长20如图，ABC中，ABAC，BAC45，ADBC，CEAB求证：(1) AEFCEB； (2) AF2CD21如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）求证：ABECAD； （2）求BFD的度数22已知，在中，点为直线上一动点（点不与点，重合），连接，以为边作，使，且点和点分别在直线的异侧，连接(1) 如图1，当点在线段上时，求的度数；(2) 若
6、，请直接写出的长23 如图1，点C在线段AB上，点D，E分别在AB的上方和下方，且，_(1)请你从，中选择一个合适的条件填入上述横线中，使得（只填序号），并给出证明；(2)在（1）的条件下，连接DE，作平分交DE于点F，如图2，试判断CF与DE的位置关系，并给出证明24【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：_；_【推广探究】如图2，在等边中，P、M分别为边AB、AC上的点，且，过点P作交AC于点O，过点M作交BC于点N，PQ与MN交于点F（1）_（2）求证：【深入探究】如图3，在“推广探
7、究”的条件下，令四边形APFN的周长为，四边形CNFQ的周长为，则_（请用含有a、b的代数式表示）参考答案1C【分析】先求出该外角的内角为50，再分50角为底角和顶角两种情况，求出其他两个内角的度数即可解：等腰三角形的一个外角等于130，等腰三角形的内角为180-130=50，当50角为底角时，顶角为180-250=80，当50为顶角时，底角为（180-50）2=65，故等腰三角形的顶角为50或80，故选：C【点拨】此题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等2D【分析】首先根据|a-2|+（2a+3b-13）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可解：|a-2|+（2a+3
8、b-13）2=0，解得：，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7故选：D【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理关键是根据等腰三角形的定义进行分类讨论3D【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质进行逐一判断即可解：如图：连接ECAB=AC，AD是BC边上的中线.ADBC，故A选项正确，不符合题意；AD是BC的垂直平分线，EC=EB，由作法可得：MN垂直平分AC，EC=EA，EA=EB，故B选项正确，不符合题意；AB=AC，ABC=ACB，AB=AC，AD是BC边上的中线.AD平分BAC，BAD=CAD
9、，EA=EB，BAD=EBA，BAD=EBA=CAD，DEB=EBA+EAB=2EAB=CAB，180-AEB=180-2ACB，AEB=2ACB，故C选项正确；不符合题意；DEB=2EBA，EBDDEB，EBD2EBA，所以D选项错误，符合题意故答案为：D【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，解决本题的关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）4B【分析】证明DFFB，推出SCFDSCFB，SADFSAFB，可得结论解：由作图过程可知，CDCB，且CE平分BCD，
10、点F是BD的中点，SCFDSCFB，SADFSAFB，SACFSCDF+SADFSABC105，故选：B【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的作图，掌握“等腰三角形的三线合一”是解本题的关键5C【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断；根据三线合一定理即可判断；假设BFAC，即可得到BAF=ABF=45，而根据现有条件无法得到BAF=45，即可判断；根据BCF的周长=BC+BF+CF=AF+CF+BC=AC+BC即可判断；解：E是AB的中点，EFAB，EF是线段AB的垂直平分线，AF=BF，故正确；AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，BD=CD，故正确；假设BFAC，即AF
11、B=90，BF=AF，BAF=ABF=45，而根据现有条件无法得到BAF=45，故错误；AF=BF，CD=BD，AB=AC=10BC=2CD=8BCF的周长=BC+BF+CF=AF+CF+BC=AC+BC=18，故正确；故选C【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，熟知线段垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键6B【分析】根据平行线的性质，得到，再根据即可得到答案解：如下图所示，过三角形左边的顶角，作直线，直线将三角形的顶角分成两个角，分别是和，故选：B【点拨】本题考查等边三角形和平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行同位角相等和两直线平行内错角相等7A【分析】根据题意
12、，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决解：作QFAC，交AC的延长线于点F，则QFC=90，ABC是等边三角形，PEAC于点E，A=ACB=60，PEA=90，PEA=QFC，ACB=QCF，A=QCF，在PEA和QFC中， ，PEAQFC（AAS），AE=CF，PE=QF，AC=AE+EC=4cm，EF=CF+EC=4cm，PED=90，QFD=90，PED=QFD，在PED和QFD中， ，PEDQFD（AAS），DE=FD，DE+FD=EF=4cm，DE=2cm，故选：A【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题
13、意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答8C【分析】由“SAS”可证ABECAD，可得ADBE，故正确；由外角的性质可求APE60，可得APB120，故正确；由全等三角形的性质可得SABESCAD，则SAPBS四边形DPEC，故正确，通过证明BPDADB，可得BPBD，即BPCE，故错误，即可求解解：ABC是等边三角形，BACACB60，ABAC，在ABE和CAD中，ABECAD（SAS），ADBE，ABECAD，故正确；APEABPBAPCADBAPBAC60，APB120，故正确；ABECAD，SABESCAD，SAPBS四边形DPEC，故正确，AECD，ACBC，CEBD，BP
14、DAPE60，ADBCDAC60DAC，BPDADB，BPBD，BPCE，故错误，故选：C【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键9C【分析】取BC中点H，连接EH、FH，作EGBC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出FQCEQFEQBQEBEBQEQB180，进而可得FQCQEB，故正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AEEBBHHC，EBH是等边三角形，然后求出PBHQ即可得出PBQCHCAE，故正确；通过证明PEHFEH可得EHPEHF60，求出EHFCHF，再证EHFCHF，求出FCEF即可
15、得出FQFC，故正确；当CQHQ时，BC4PB，由AFAB无法推出Q为HC中点，故错误解：取BC中点H，连接EH、FH，作EGBC于G，ABC为等边三角形，EQF为等边三角形，EQFEBQ60，FQCEQFEQBQEBEBQEQB180，FQCQEB，故正确；EGBC，PE=EQ，PGGQ，点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，ABC60，AEEBBHHC，EBH是等边三角形，EGBH，BGGH，PBHQ，PBQCHCAE，故正确；EGBC，PE=EQ，EBH是等边三角形，BEGHEG，PEGQEG，BEHEHB60，EHEB，PEBQEH，在等边三角形EQF中，FEQ60，EFEQFQ，P
16、EHFEH，PEFE，又EHEH，PEHFEH（SAS），EHPEHF60，FHC60，即EHFCHF，AEEBBHHC，EHEB，EHHC，又HFHF，EHFCHF（SAS），FCEF，FQFC，故正确；BHCH，BGGH，BPHQ，当CQHQ时，BC4PB，由AFAB无法推出Q为HC中点，故错误；综上，正确的有3个，故选：C【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键10B【分析】首先证明两个阴影部分面积之差SADC，当CDAC时，ACD的面积最大解：延长BD交AC的延长线于点H设
17、AD交BE于点OADBH，ADBADH90，ABD+BAD90，H+HAD90，BADHAD，ABDH，ABAH，ADBH，BDDH，DCCA，CDACAD，CAD+H90，CDA+CDH90，CDHH，CDCHAC，AEEC，SABESABH，SCDHSABH，SOBDSAOESADBSABESADHSCDHSACD，ACCD3，当DCAC时，ACD的面积最大，最大面积为33故选：B【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题119cm、1cm或5cm、5cm【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应
18、该分两种情况进行分析求解解：当9cm为腰长时，则腰长为9cm，底边=19-9-9=1cm，因为9+19，所以能构成三角形； 当9cm为底边时，则腰长=（19-9）2=5cm，因为5+59，所以能构成三角形 则等腰三角形其他两边长分别为9cm、1cm或5cm、5cm 故答案为：9cm、1cm或5cm、5cm【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验1245#45度【分析】先证BDHADC(AAS)，得BD=AD，从而得ABD=BAD，再因为ABD =90，即可求得ABD度数，即ABC度数解：AD、BE是ABC的高，ADB=ADC=BEC=90
19、，C+CBE=CBE+BHD=90，C=BHD，在BDH与ADC中，BDHADC(AAS)BD=AD，ABD=BAD，ABD =90，ABD =45，即ABC =45，故答案为：45【点拨】本题考查三角形的高，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，证明BDHADC是解题的关键137【分析】用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案即可解：由题意可得：ADC=CEB=ACB90，AC=BC，ACD+ECB90，ACD+DAC90，则DACECB，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），DCEB3cm，ADCE4cm，则两条凳子的高度之和为：AD+BE=3+47(cm)故答案为：
20、7【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，得出ACDCBE是解题关键14【分析】作AFBC于F，证明BDEADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解解：作AFBC于F，AB的垂直平分线交BC于点DAD=BD，AFBC，BEDE，E=AFD=90，在BDE和ADF中，BDEADF（AAS），DF=DE，CD-DE=CD-DF=CF，AB=AC，AFBC，BC=，CF=BC=故答案为：【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键154【分析】过A作AFBC于F，证明即可得到最后
21、根据面积公式计算即可解：过A作AFBC于FAB=AC，BC=4，BDBC, CDAB在和中(AAS)故答案为：4【点拨】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一作垂线16【分析】根据“SAS”证明ABDCBE，推出AD=EC，即可得出结论解：连接EC，如图所示：ABC和BDE都是等边三角形，BA=BC，BD=BE，ABC=DBE=60，ABD=CBE，ABDCBE（SAS），AD=EC，大小不变，大小不变，点E的运动轨迹为一条线段，AD=EC，AH，点D从点A运动到点H时，点E的运动路径的长为故答案为：【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的
22、判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题17【分析】作F关于AD的对称点F，由角的对称性知，点F在AB上，当CFAB时，ECEF的最小值为CF，再利用面积法求出CF的长即可解：作F关于AD的对称点F，如图所示：AD是BAC的平分线，点F在AB上，EFEF，当CFAB时，ECEF的最小值为CF，ABAC，AD是BAC的平分线，ADBC，SABCBCADABCF，16610CF，CF，ECEF的最小值为，故答案为：【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键186【分析】过C作CFAB于F，交DE于G，证得A
23、DEAFC，得到SADESAFC，DECF，进而得到SEFGSCDG，根据等腰三角形的判定得到BFCF，由S四边形BCDESBCFSEFGSCDGSBCF求出CF，根据三角形面积公式即可求得结果解：过C作CFAB于F，交DE于G，如图所示：在ADE和AFC中，ADEAFC（AAS），SADESAFC，DECF，SADES四边形ADGFSAFCS四边形ADGF，SEFGSCDG，ABC45，BCF90ABC45，ABCBCF，BFCF，S四边形BCDESBCFSEFGSCDGSBCF8，DECF4，SADEADDE346，故答案为：6【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定
24、，三角形的面积公式，正确作出辅助线，根据全等三角形证得SADESAFC是解决问题的关键195【分析】根据等腰三角形的性质得到B=C，然后根据垂直的定义和对顶角的性质证明E=EFA即可求解【详解】解：AB=AC，B=C，EDBC，EDB=EDC=90，B+BFD=90，C+E=90，BFD=E，BFD=EFA，E=EFA，AF=AE=5【点拨】本题主要考查了垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解20(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）由“ASA”可证AEFCEB；（2）由全等三角形的性质可得AFBC，由等腰三角形的性质可得AFBC2
25、CD(1)证明：BAC45，CEAB，BACACE45，AECE，ADBC，BBAD90BBCE，BADBCE，在AEF和CEB中，AEFCEB（ASA）；(2)证明：AEFCEB，AFBC，ABAC，ADBC，BC2CD，AF2CD【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键21（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据等边三角形的性质根据SAS即可证明ABECAD；（2）由三角形全等可以得出ABE=CAD，由外角与内角的关系就可以得出结论1）证明：ABC为等边三角形，AB=BC=AC，ABC=ACB=BAC=60在ABE和CAD中， ABECAD（
26、SAS），（2）解：ABECAD，ABE=CAD，BAD+CAD=60，BAD+EBA=60，BFD=ABE+BAD，BFD=60【点拨】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.22(1)90(2)3或7【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明ABDACE，根据全等三角形的性质求解即可；（2）分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况求解即可(1)解：BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABCACE45，BAC90，ABAC，ABCACB45，ECBA
27、CBACE454590；(2)解：当点D在线段BC上时，BC5，CD2，BDBCCD3，由（1）得ABDACE，BDCE，CE3，当点D在线段BC的延长线上时，如图，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，BC5，CD2，BDBCCD7，CE7，综上，CE长为3或7【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，利用SAS证明ABDACE是解题的关键23(1)选择，证明见分析(2)，证明见分析【分析】（1）根据“边角边”可判定三角形全等，添加的条件为，然后证明即可；（2）根据全等三角形的性质可知，再根据等腰三角形“
28、三线合一”的性质证明CF与DE的位置关系即可(1)选择证明：，在和中，；(2)证明：，CF平分，【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握全等三角形全等的判定方法是解题关键24【问题背景】AD=BE，60；【推广探究】（1）60，（2）见分析；【深入探究】2a-2b【分析】根据SAS证明ABDBCE，利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可解决问题。【推广探究】（1）如图2，三角形内角和定理可知，MFQ+QMF+MQF=180，AOE+EAO+AEO=180，所以MFQ=AOE=60；（2）结合图1可知，ABE=DAC，由平行的性质可知APQ=A
29、BE，NMC=DAC，则APQ=NMC，由AB=AC及AM=BP可知AP=CM，易证APQCMN，由此可得出结论；【深入探究】由AM=BP，CQ=BN，可得AP+AM=CQ+CN，由PQ=MN，可得PF=a+c-b，所以a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b解：如图1，ABC是等边三角形，AB=BC，ABD=C=60，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），BAD=CBE，AD=BE，AOE=OBA+BAD=OBA+CBE=CBA=60，故答案为：AD=BE，60；【推广探究】（1）PQBE，MNAD，QMF=EAO，MQF=AEO，在MQF中，MFQ+QMF+MQF=180，在AEO中，AOE+EAO+AEO=180，MFQ=AOE=60，故答案为：60；（2）APQ+PAQ+PQA=180，MFQ+MQF+FMQ=180，且PAQ=MFQ=60，APQ=FMQ，AM=BP，AP=CM，在PAQ和MCN中，PAQMCN（ASA），PQ=MN；【深入探究】AM=BP，CQ=BN，AP+AM=CQ+CN，PQ=MN，PF+b=a+c，PF=a+c-b，a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b，故答案为：2a-2b【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确找出全等三角形解决问题
