1、1第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌第八讲 整数裂项与通项归纳2第 11 级上优秀 A 版教师版在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111 33 5577999 101.但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1 33 5577999 101 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数
2、没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项 11 2231123 nnnnn例如：12+23+34+91011 21 230 1 23 ；1232341 233 ；1343452343 ；19 109 10 118 9 103 ；那么，原式=（123-012+234-123+91011-8910）13=（91011-012）13=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式
3、的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧课堂引入经典精讲教学目标3第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲1.计算：123452345246938275【分析】原式123452345246957655（）123452345246957655123452345123457655123452345765512345 10000123450000（）（）2.计算：703703703037037037【分析】原式703 10010010(37 1001001)70337 101903.计算：(567896789578956
4、8956795678)7【分析】观察可知 5、6、7、8、9 在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以，原式(56789)1111175 1111155555 4.201320122012201220132013 _【分析】原式=20132012 1000120122013 1000105.计算：2772283496535【分析】原式(280028)28(3500035)351001 10001 10986.计算：12345679 81【分析】原式123456799912345679(101)9(12345679012345679)9 111 111 111 9999 999 999 模块一：
5、裂项例 1：因数差 1 的整数裂项例 2：因数差不是 1 的整数裂项例 3：多个因数乘积的整数裂项模块二：通项归纳例 4：整数裂项中的通项归纳例 5：分数裂项中的通项归纳例题思路知识回顾4第 11 级上优秀 A 版教师版计算：1 2239 10 _（学案对应：学案 1）【分析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形：12111111211333n nnnn nn nn nnnn n，所以原式1=9 10 110 1 2=3303 【想想练练】计算：1 2231920 _【分析】121111112
6、11333n nnnn nn nn nnnn n，所以原式1=1920210 1 2=26603 计算：24462426 _（学案对应：学案 2）【分析】原式291242028262461【想想练练】3 55733 35 _原式 712053137353361（A 版（1）、（2）、（3）计算：1 232343459 10 11 1 234234534569 10 11 12 1 23423453456(1)(2)(3)n nnn 3 575791921 23 1 3 573 579579 111921 2325 【分析】111212311244n nnn nnnnn nn，原式19 10 1
7、1 120 1 234 19 10 11 124 2970从中还可以看出，11 23234345121234nnnn nnn 例 2例 3例 15第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲 1112(3)123(4)112(3)55n nnnn nnnnnn nnn，原式19 10 11 12 130 1 2345 19 10 11 12 135 308881 23423 45345612(3)n nnn 1123(4)5n nnnn原式11921 23251 3 578 28665原式1105(1921 2325271 3 579)10 61945811111 21 2231 223341 22
8、3349 10 （学案对应：学案 3）【分析】由于11 2231123nnn nn ，则大约 1500 年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物
9、，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.例 46第 11 级上优秀 A 版教师版131 223112nnn nn ，原式33331 232343459 10 11 311111121 22323349 1010 1131121 210 1181110计算：111112123122013（学案对应：学
10、案 4）【分析】先找通项公式12112()12(1)1nannnnn原式11111112(1)22334201320141121201420131007【想想练练】计算：111111224246246824681024681012【分析】先通项归纳：11112421222nann nnn，原式1111111 22334455667111111111611223346777 例 57第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲计算：1!32!43!54!62012!20142013!【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!，2!42!(13)2!3!原式1!2!2!3!3!4!4!5!201
11、1!2012!2012!2013!2013!11.233445100 101 【分析】根据 12111111211333n nnnn nn nn nnnn n，可得原式(2341 23)(345234)(100 101 10299 100 101)3 1100 101 1021 233 343398本题也可直接采用结论：11 2231123nnn nn，则原式1 22 3344 5100 1011 2 1 100 101 10223343398杯赛提高附加题兔妈妈买来 10 个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把 10 个萝卜分成 4 份从左到右分别是 1 个、2 个、3 个、4 个.小黑闹着要吃那
12、份最多的.妈妈说：“你如果能只移动 1 个萝卜，使 4 份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是 4 个、3个、2 个、1 个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.8第 11 级上优秀 A 版教师版2.计算：1 3 53 575791921 23 【分析】原式1151921 23251 3 578 286803.S=123+234+345+201020112012，试求出 4S（201020112012）的值【分析】11 23=1 234-0 1 234 （）；1234=345-1 2344 （2）；1345=456-23454 （3）；1201
13、02011 201220102011 20122013-200920102011 20124（）原式=120102011 201220130 1 23420102011 20124 （）（）=20134.计算：1 234561920234518 19 【分析】设原式=BA1 1920210 1 226603BA 223252 19200BA 原式=BA 26602001432660200123BABABABA5.计算：121231234123502232342350【分析】通项公式为：1121231212n nnnnnnnnn，（n 从 2 开始）原式324354515014253649523
14、5075152266.计算：22222222135201321416120141【分析】通项归纳：2221(21)(21)21(21)212121nnnnnannnn原式=13520131357201520159第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲一、整数裂项11 22334(1)(1)(1)3nnnnn 11 23234345(2)(1)(2)(1)(1)4nnnnnnn 110 11 11 1212 1399 100(99 100 1019 10 11)3 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第 n 项公式2.将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.计算：4556671920 _【分析】原
15、式1 19202134526403 .2.计算：24462426 _【分析】原式2912420282624613.计算：2464686 8 10222426 【分析】原式12224262802468 480484.计算：11111 21 2231 223341 2233499 100 【分析】由于11 2231123nnn nn ，则131 223112nnn nn ，原式33331 2323434599 100 101 311111121 223233499 100100 101家庭作业知识点总结10第 11 级上优秀 A 版教师版31121 2100 10115147202005.计算：1
16、11111212312100【分析】观察原式各项的分母，每一项都是正整数数列中前面的若干项连续相加，这相当于是一个等差数列求和，可以把每一项都变成我们熟悉的可以裂项的分数先找通项公式：1212(1)nannn，原式222122310010111211012001016.计算：22222222246201231517120131【分析】通项归纳：222222221211nnnnnnnn原式=1231006123410071007【学案 1】请计算：1 2233499 100 =_【分析】原式1 99 100 1010 1 23333003 .【学案 2】5 88 113235 _；【分析】原式
17、472085238353291；【学案 3】11111 21 2231 223341 223344950 【分析】由于11 2231123nnn nn ，则131 223112nnn nn ，原式33331 23234345495051 311111121 22323344950505131121 25051A版学案11第 11 级上优秀 A 版教师版第八讲637850【学案 4】111133535735721【分析】先找通项：1111352122132nann nnn 原式1111111 3243 5469 1110 121111111 33 59 11244610 1211111121112212175264
