1、1第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲漫画释义四年级寒假多位数的计算四年级春季小数计算五年级暑假分数乘除五年级暑假分数加减五年级秋季循环小数分数的意义、分类、基本性质及约分，分数乘除基本运算，分数约分技巧乘除运算。知识站牌第一讲 分数乘除2第 9 级上超常体系 教师版最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。在左传一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不能超过周国的 1/3，中等的不得超过 1/5，小的不得超过 1/9。秦始皇时期，拟定了一年的天数为 365 又 1/4 天。九章算术是我国 1800 多年前的一本数学专著，其中第一章方田里就讲了分数四则算法在古代，中国使用分数比
2、其他国家要早出一千多年所以说中国有着多么悠久的历史和多么灿烂的分数的文化啊！1.认识分数的定义及分类；2.理解分数的基本性质并进行分数的约分；3.灵活运用法则进行分数的乘除计算；4.灵活运用技巧进行分数的乘除巧算1.分数的定义分数的来历：在进行测量，分东西或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时我们就需要用分数表示.(铮铮过生日，要把生日蛋糕平均分给 5 个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？)单位 1：把整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示.一个整体可以用自然数“1”来表示，通常把它叫做单位“1”.分数与分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数.
3、分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数.表示其中一份的数叫分数单位.(如果我们把生日蛋糕平均分成了 10 块，那么每个人可以得到几块？每块占蛋糕的几分之几？210 的分数单位是多少？)分数与除法：铮铮过生日，要把生日蛋糕平均分给 5 个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？1155 我们发现，被除数被除数除数除数，在分数中，分子就相当于除法中的被除数，分母相当于除数.由于除数不为 0，因此分母也不能为 0.经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲那么，上题中的 15，既可以当做一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算.2.真分数、假分数和带分数：巍巍和
4、涛涛平分 1 个苹果，那么每人分几个？1122这种分子比分母小的分数就叫做真分数.巍巍和涛涛平分 3 个苹果，那么每人分几个？3322这种分子比分母大(或相等)的分数就叫做假分数.上面一例，我们也可以这么考虑：巍巍和涛涛先每人拿 1 个苹果，然后再平分剩下的 1 个苹果.那么每人得到：11 1212 个.31122如此，可以把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在一起.这样的分数叫做带分数.3.分数的基本性质包包、铮铮和昊昊去必胜客吃披萨.如果把披萨平分成 3 块，那么每人 1 块；如果平分成 6 块，那么每人 2 块；平分成 15 块，那么每人 5 块；如果平分成 99 块呢？我们发现，因为
5、披萨是平分的，那么实际上不管分成几块，每人得到的披萨是一样多的.也就是说：125()361599观察规律：11 21 51()3323 53 33.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变.约分与最简分数(前续知识：最大公因数)分子分母互质(只有公因数 1)的分数叫做最简分数.根据分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个非零数，分数大小不变.我们把分子分母同时除以它们的一个不是 1 的公因数，那么会得到一个大小不变，但分子分母都比较小的分数.这就叫约分.如果我们把分子分母同时除以它们的最大公因数，那么新的分子分母一定互质.这样，我们就得到了这个分数
6、的最简分数.242421212343030215153524(24,30)=64305454.分数的乘除法分数乘以整数铮铮的生日上，涛涛有事没有来，大家为了把他的蛋糕也留出来，把蛋糕平分成了 10 份，4 个人每人拿了 2 块，那么 4 个人拿了全部蛋糕的几分之几？每人拿了 210，那么 4 个人拿了 22228410101010105.从另一方面想，每人拿了 2 块，四个人拿了 8 块，总共有 10 块，所以 244105.所以，2244410105.4第 9 级上超常体系 教师版我们在计算时，可以先约分，再做乘法，那么 21054245.分数乘以分数涛涛胃口比较小，给它的蛋糕，它只吃了 2
7、5，那么它吃了整个蛋糕的几分之几(共给了涛涛 15 的蛋糕)？想一想，把蛋糕平分成 5 份，涛涛拿了 1 份.再把这 1 份蛋糕平分成 5 份，吃了 2 份.相当于把整个蛋糕平分成了 25 份，吃了 2 份，那么吃了整个蛋糕的 225.212 12555525分数乘以分数，用分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的可以先约分.倒数观察下面几个算式：2117411151112475 你发现了什么特点？我们把一个数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数的乘积是 1.乘积为 1 的两个数互为倒数.注意，因为 0 不能做分母，所以 0 没有倒数.分数的除法观察下面算式：37773775751220205
8、1220312除以一个数等于乘以它的倒数.分数的四则混合运算分数的四则运算法则和整数的四则运算法则相同：它们的运算顺序是先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内后算括号外，同一级运算顺序是从左到右.与整数四则运算相同，分数的四则运算也满足整数运算的计算律.如下：(1)abba(2)()()abcabc(3)()abcabc(4)()mambmcm abc连锁约分与整体约分分数的计算，有一些不同于整数计算的方法.主要是在做乘除法时，可以通过约分来简化计算过程.比如：1234234 我们发现，前一个分数的分母，恰好等于后一个分数的分子，那么我们可以把它们进行约分：12233441，这就是连锁约分.还
9、 有 这 样 一 类 题：1 232463 691 3 526 103 9 15 ，我 们 发 现，分 子 分 母 都 有 公 因 数：5第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲333333331 2 32463 6 91 2 321 2 331 2 31 2 3(123)1 3 526 103 9 151 3 521 3 531 3 51 3 5(123)那么，我们可以把分子分母同时约掉33123：1 23 33(123)13335(123)25这就是整体约分.模块 1：例 1-3，分数的意义、分类、基本性质及约分模块 2：例 4-6，分数乘除运算模块 3：例 7-8，分数乘除运算约分技巧在括
10、号内填上合适的数.（1）将单位“1”平均分成 10 份，取其中的 7 份，用分数表示为（），这个分数的分子是（），分母是（），它的分数单位是（）.（2）712 表示的意义是将单位“1”平均分成（）份，取其中的（）份；58 表示的意义是将单位“1”平均分成（）份，取其中的（）份.（3）一根铁丝长 4 米，将其平均分成 5 段，每段占全长的（），每段长（）米.（4）五年级有男生 25 人，女生 23 人，男生人数占全班人数的（）.（5）某班男生人数占全班的 59，女生人数占全班的（），女生占男生的（）.（6）一个分数的分子是 5，分母是分子的 2 倍多 3，这个分数是（）.（7）一个分数将分子分母
11、同时减去 8 以后是 25，这个分数是（）.（8）用分数表示下列各阴影部分.（）（）（）（）例题思路例 16第 9 级上超常体系 教师版【分析】（1）710，7，10，110（2）12,7；8,5（3）15,0.8（或 45）（4）2548（5）49，45（6）分母为52+3=13，所以该分数为 513（7）1013（8）15，34，14，12教学提示：如果第（8）题后两问学生没有约分，可等讲完约分后再将其约分.【巩固】选择题1、分子相同的分数（）.A、分数单位相同B、分数的大小相同C、所含的分数单位的个数相同2、分母相同的分数（）.A、分数单位相同B、分数的大小相同C、所含的分数单位的个数相
12、同3、把 4 米的绳子平均分成 5 段，每段占全长的（）.A、15B、45C、54【分析】1、C2、A3、A1、填空（1）根据除法与分数之间的关系：分子相当于除式中的，分母相当于除式中的，分数的大小相当于除式中的.（2）将一根长 10 米的铁丝，平均分成 5 段，每段长（）米.（3）将一根长 3 米的铁丝，平均分成 7 段，每段长（）米.（4）将一根长 23 米的铁丝，平均分成 7 段，每段长（）米.2、因为 133=41，所以131433，仿照此形式，把下列假分数化为带分数.87，257，7516，15623，40192008，201310013、因为 243=11，所以3112 44，仿照
13、此形式，把下列带分数化为假分数.135，36 7，12 21，24 27，597 99，2211005（学案对应：超常 1）【分析】1、（1）被除数、除数、商（2）2，（3）37，（4）237（或237）例 27第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲2、117，437，11416，18623，322008，12913、165，457，4321，11027，960899，211071005【巩固】（1）把下列假分数化为带分数:85，2013，377，20132012（2）把下列带分数化为假分数:122，237，519，221005【分析】（1）315，7113，25 7，11 2012（2）52
14、，237，149，20121005【拓展】（1）分母是 20 的所有真分数中，分子之和是多少？（2）分子是 20 的所有假分数中，分母之和是多少？【分析】（1）真分数分子比分母小：所有分子之和为：1+2+3+19=190（2）假分数分母小于或等于分子：所有分母之和：1+2+3+20=210（1）分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0 除外），分数的大小（填“变大”、“变小”或“不变”），这就是分数的基本性质.根据分数的基本性质，我们可以写出如下的式子：88242020210，仿照上面形式，在下面的括号内填入适当的数.663218()3()，15320()，36454()，35()142，
15、18()248，8()63（2）根据分数的基本性质，我们把分子分母同时除以它们的一个不是 1 的公因数，那么会得到一个大小不变，但分子分母都比较小的分数.将其化成分子和分母只有公因数 1 的形式（最简分数），叫分数化简.例如：4422101025，请将下列分数化成最简分数.分数由来分数在我们中国很早就有了，最初分数的表现形式跟现在不一样。后来，印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了。200 多年前，瑞士数学家欧拉，在通用算术一书中说，要想把 7 米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它如果我们把它分成三等份，每份是
16、 7/3 米像 7/3 就是一种新的数，我们把它叫做分数。例 38第 9 级上超常体系 教师版612，418，2210，1535，2128，2436（3）分母为 30 的所有最简真分数中，所有分子之和是多少？（学案对应：超常 2、带号 1）【分析】（1）不变，663218(18)3(6)，15320(4)，36454(6)，35(5)142，18(6)248，8(4)63（2）12，29，115，37，34，23（3）最简真分数，分子比分母小，且分子和分母只有公因数 1（互质）：所有分子之和：1+7+11+13+17+19+23+29=120【巩固】把下面分数化成最简分数：15 3791,12
17、 111 1001.【分析】主要学习分数的约分.分子分母同时除以它们的公因数.155 371911,124 1113 100111计算下列各题：（1）11231354143213172141517（2）1472591217525169（3）3249355614515421714751（4）371431525587293328（5）211 7182124561232413126445【分析】（1）16，6556，6221，28255（2）47，109，2045，4009（3）16，12，19，23（4）32，95，15，12（5）114，10，7，552（1）先计算，再观察每个式子中两因数有怎样
18、的关系例 4例 59第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲37735885211112413134155（2）观察下面算式：377737757512202051220312，除以一个数等于乘以它的倒数.例如：4345105110242831 33，仿照此题，计算下列各式31571115528215285 6556103611213627【分析】（1）主要学习倒数，为分数的除法做准备.各式答案均为 1.强化”乘积为 1 的两数互为倒数”的思想.（2）1135，94，2524，5518，314【巩固 1】计算下列各式：(1)28157549 _；(2)1152411 _.【分析】（1）281528
19、75494151755497435(先约分再相乘会比较简单)（2）11592 41131141553320【巩固 2】小马虎把一个数乘以 38错看成除以 38，结果是 45，正确的结果是多少？【分析】根据题意可知这个数为 4335810，所以正确的答案为：33910880【巩固 3】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数 56 看成了 58 来计算，算出的结果是 120，这道算式的正确答案是_.【分析】根据题意可知，被除数为5120758，所以正确的答案为575906.计算下列各题：（1）1658785（2）13251382438245（3）1615551()1719198（4）4
20、4802193418556271127147386)833325909352557（例 610第 9 级上超常体系 教师版（5）252525831741133332742931（学案对应：超常 3、带号 2）【分析】（1）16582578528（2）23（3）18（4）0（5）25252586451133 293264 5 11 5874 3 3143174115833332317425743 3131 74253329 325742931 【巩固】计算下列各题（1）637522 721449（2）62651371475713【分析】（1）250（2）首先要把式子化为真分数和假分数连乘的形式：
21、13原式1751171715 11111 1711311（1）1239.23410（2）111111111111111123456789（3）11112008 111.12341000（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】（1）注意到，前一个数的分母恰好是后一个数的分子；那么我们可以把它们全部约掉1223349.11010（2）连锁约分，5（3）原式200810043243541001.10001005004例 711第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲计算下列各式：（1）123.100246.200 _；（2）1 32426483 9724 12961 2424836 124 8 16
22、_.（学案对应：带号 4）【分析】本题主要考察连锁约分和整体约分.（1）我们注意到，分母中的每一个加数，都恰好是对应的分子加数的 2 倍.那么我们可以把分子分母中都有的部分提出来：123.100123.100246.200 2(123.100 12)（2）先对分子分母提取公因数，原式3333331 32421 3 2431 32441 3 241 2421 2431 2441 241 324 3333(1234)124333(1234)9一、分数的概念：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数.二、分数与除法的关系：分子就相当于除法中的被除数，分母相当于除数.由于除数不为 0，
23、因此分母也不能为 0.三、假分数与带分数互化：cabca bb例 8知识点总结移动数字101-102=1只能移动一个数字（0、1、2），并且只能移动一次，使等式成立答案：将 2 上移，使 102 变成21012第 9 级上超常体系 教师版四、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变.五、分数乘法：分数乘以整数：分母不变，分子乘以整数分数乘以分数：分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的先约分.六、分数除法倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数.一般分子和分母对调.0 没有倒数（因为 0 不能做分母）.分数的除法：除以一个数等于乘以它的倒数.七、约分技巧：连锁
24、约分、整体约分.1、写出下面阴影部分表示的分数.【分析】38,13,292、（1）把下列假分数化为带分数.76，254，818，12231，100291（2）把下列带分数化为假分数.14 5，34 8，62 23，24743，1121006【分析】（1）116，16 4，110 8，293 31，11191，（2）215，358，5223，202343，1207310063、将下列分数化成最简分数.412，618，2214，3575，70105，126294【分析】13，13，117，715，23，374、计算下列各题：家庭作业13第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲337421211235
25、7651681121125【分析】92824115310525、计算下列各题：3155111242515114164183161112357【分析】1125951031163496、计算下列各题：（1）3234543（2）122411121339124（3）72511(8)1913137【分析】185；96169；97、计算：111111111111234567【分析】连锁约分，48、计算：1 232463 694 8 121 3 526 103 9 154 1220 【分析】原式3333331 2321 2331 2341 231 3 521 3 531 3 541 3 5 1 23 333
26、(1234)135333(1234)25【超常班学案 1】将下列算式的计算结果写成带分数：0.5 1365967【分析】原式0.5 13659=676859=676759+59=67595967【超常班学案 2】将下列分数化成最简分数.超常班学案14第 9 级上超常体系 教师版1435，1491，25225，12493，69115【分析】25213194335【超常班学案 3】计算下列各题：（1）83332147（2）1513141445628【分析】（1）812845710111214721433（2）原式561251442506528【超常班学案 4】计算：1111124681111124
27、68103579【分析】原式357911246824681035793254769811()()()()23456789101110【超常 123 班学案 1】分母不大于 10 的所有最简真分数一共有多少个？【分析】法 1：分母为 2 的最简真分数：12，共 1 个分母为 3 的最简真分数：1 23 3，共 2 个分母为 4 的最简真分数：1 34 4，共 2 个分母为 5 的最简真分数：1 2 3 45 5 5 5，共 4 个分母为 6 的最简真分数：1 56 6，共 2 个分母为 7 的最简真分数：1 2 3 4 5 67 7 7 7 7 7，共 6 个分母为 8 的最简真分数：1 3 5
28、 78 8 8 8，4 个123 班学案15第 9 级上 超常体系教师版第 1 讲分母为 9 的最简真分数：1 2 4 5 7 89 9 9 9 9 9，共 6 个分母为 10 的最简真分数：137910 10 10 10，共 4 个分母不大于 10 的所有最简真分数一共有：1+2+2+4+2+6+4+6+4=31个.法 2：分子为 1，分母可以为 2、3、10，共 9 个分子为 2，分母可以为 3、5、7、9，共 4 个分子为 3，分母可以为 4、5、7、8、10，共 5 个分子为 4：分母可以为 5、7、9，共 3 个分子为 5：分母可以为 6、7、8、9、共 4 个分子为 6：分母可以为
29、：7，共 1 个分子为 7：分母可以为：8、9、10，共 3 个分子为 8：分母可以为：9，共 1 个分子为 9：分母可以为：10，共 1 个分母不大于 10 的所有最简真分数一共有：9+4+5+3+4+1+3+1+1=31个.【超常 123 班学案 2】计算下列各题：（1）2012201220122013（2）132225421311520【分析】（1）原式201220121120122012201220122012112013201320132013（）（2）132214637211463520254=()821332552032572111520【超常 123 班学案 3】一根铁丝，第一
30、次剪去了全长的 12，第二次剪去所剩铁丝的 13，第三次剪去所剩铁丝的 14，第 2008 次剪去所剩铁丝的12009，这时量得所剩铁丝为1米，那么原来的铁丝长米.【分析】第2007 次剪去后剩下的铁丝为120091(1)20092008(米)，第2006 次剪去后剩下的铁丝长为2009120092008(1)2008200820082007，依次可以得出，原来的铁丝长为：2009200822009200820071（米）.【超常 123 班学案 4】计算：2009200820092009200820082008200820082008200920092009200920092009个个=_.16第 9 级上超常体系 教师版【分析】原式2008000120080012008(1+10001+100010001+.+1000100010001)20082009(1+10001+100010001+.+1000100010001)2009个个0
