1、第62讲 二项分布及其应用 第62讲 二项分布及其应用 1条件概率的定义与性质(1)定义 一般地，设 A、B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)_为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，一般把 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 的概率(2)性质 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0 和 1 之间，即_ 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)_.知识梳理 第62讲 知识梳理 0P(B|A)1 P(B|A)P(C|A)PABPA 第62讲 知识梳理 2事件的相互独立性 设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件A 与事
2、件 B 相互独立；如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立 3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，即若用 Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验的结果，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)二项分布 一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)_(k0,1,2，n)此时称随机变量 X 服从二项分布，记作_，并称 p为成功概率 第62讲
3、 知识梳理 Cknpk(1p)nk XB(n，p)要点探究 探究点1 条件概率第62讲 要点探究 例 1 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问从 2 号箱取出红球的概率是多少？思路 本题可分为两种互斥的情况：一是从1号箱取出红球；二是从1号箱取出白球，然后利用条件概率知识来解决 第62讲 要点探究 解答 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；事件 B：从 1 号箱中取出的是红球 则 P(B)42423，P(B)1P(B)13.所以 P(A|B)318149，P(A|B
4、)38113，从而 P(A)P(AB)P(A B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)492313131127.第62讲 要点探究 点评 条件概率 P(B|A)与概率 P(B)，它们都以样本空间 为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率 P(B)是指在整个样本空间 的条件下事件 B 发生的可能性大小，而条件概率 P(B|A)是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的可能性大小 第62讲 要点探究 甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为 20%，乙市为 18%，两市同时下雨的天数占 12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲市下雨时乙市也下
5、雨的概率 思路 设出事件，弄清楚各个事件之间的关系，按照条件概率公式进行计算即可 第62讲 要点探究 解答 记“甲市下雨”为事件 A，“乙市下雨”为事件B.按照题意有，P(A)20%，P(B)18%，P(AB)12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨概率为 P(A|B)PABPB23.(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率为 P(B|A)PABPA35.探究点2 事件的相互独立性第62讲 要点探究 例 2 2010四川卷 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求三位同学都没有
6、中奖概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 第62讲 要点探究 解答(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)P(B)P(C)16.P(ABC)P(A)P(B)P(C)563125216.答：三位同学都没有中奖的概率是125216.思路 三位同学是否中奖是相互独立的，使用P(AB)P(A)P(B)进行计算本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力 第62讲 要点探究(2)1P(A BCA B CAB C ABC)13162561632527，或 P(A B C A B C A B C A B C)2527.答：三位同学
7、中至少有两位没有中奖的概率为2527.第62讲 要点探究 点评 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义已知两个事件 A、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，则 A、B 中至少有一个发生的事件为 AB；A、B 都发生的事件为 AB；A、B 都不发生的事件为 A B；A、B 恰有一个发生的事件为 A B A B；A、B 至多有一个发生的事件为 AB A BA B.对于求“至少”“至多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率.有时也可以从对立事件入手求解 第62讲 要点探究 2010北京卷 某同学参加 3
8、门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记 X 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 (1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求a，b的值 第62讲 要点探究 思路(1)“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“X0”是对立的，利用对立事件求解；(2)利用 P(X0)6125，P(X3)24125，通过解方程组求解；(3)利用 aP(X1)，bP(X2)求解 第62讲 要点探究 解答 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”，i1,2,
9、3.由题意知 P(A1)45，P(A2)p，P(A3)q.(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“X0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1P(X0)1 6125119125.第62讲 要点探究(2)由题意知，P(X0)P(A 1 A 2 A 3)15(1p)(1q)6125，P(X3)P(A1A2A3)45pq 24125，整理得 pq 625，pq1，由 pq，可得 p35，q25.第62讲 要点探究(3)由题意知 aP(X1)P(A1 A 2 A 3)P(A 1A2 A 3)P(A 1 A 2A3)45(1p)(1q)15p(1q)15(1p)
10、q37125，bP(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)58125.探究点3 独立重复试验与二项分布第62讲 要点探究 例 3 某单位举办 2010 年广州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“乐羊羊”(亚运会吉祥物)图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“乐羊羊”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“乐羊羊”卡？主持人答：我只知道从盒中抽取两张都是“亚运会会徽”卡的概率是 518，求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽
11、奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的分布列 第62讲 要点探究 解答(1)设“亚运会会徽”卡有 n 张，由C2nC29 518，得 n5，故“乐羊羊”卡有 4 张，抽奖者获奖的概率为C24C2916.思路(1)用古典概型概率公式计算；(2)将实际问题转化为二项分布求解 第62讲 要点探究(2)XB4，16 的分布列为 P(Xk)Ck416k564 k(k0,1,2,3,4)；P(X0)C04160564 6251296，P(X1)C1416563125324，P(X2)C24162562 25216，P(X3)C3416356 5324，P(X4)C44164 11296.第62讲 要点探究
12、 点评 实际问题能否转化为二项分布，关键是看随机变量是否满足条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 第62讲 要点探究 在 2010 年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或
13、不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选 3 名下岗人员，记 X 为 3 人中参加过培训的人数，求 X 的分布列 第62讲 要点探究 解答 任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加过计算机培训”为事件 B，由题设知，事件 A 与B 相互独立，且 P(A)0.6，P(B)0.75.(1)解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P1P(A B)P(A)P(B)0.40.250.1，所以该人参
14、加过培训的概率是 P21P110.10.9.第62讲 要点探究 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 P3P(A B)P(A B)0.60.250.40.750.45，该人参加过两项培训的概率是 P4P(AB)0.60.750.45.所以该人参加过培训的概率是 P5P3P40.450.450.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培 训 的 人 数 X 服 从 二 项 分 布 B(3,0.9)，P(X k)Ck30.9k0.13k，k0,1,2,3，即 X 的分布列是 第62讲 要点探究 规律总结 第62讲 规律总结 1“相互独立”与“事件互斥”的区
15、别 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)两事件相互独立不一定互斥 2条件概率的求法(1)利用定义，分别求出 P(A)，P(AB)，得 P(B|A)P(AB)P(A)；(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，即 P(B|A)nABnA.第62讲 要点探究 3相互独立事件同时发生的概率的求法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算 4独立重复试验 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的
