1、第54讲 变量的相关性与统计案例 第54讲 变量的相关性 与统计案例 1变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的_关系和不确定的相关关系 2两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做_图 3若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是_的，而若所有点看上去在_附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间_ 知识梳理 第54讲 知识梳理 函数 散点 线性相关 某条曲线 不相关 4从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变
2、量的这种相关关系称为_ 5从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则这条直线叫_ 6假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，且所求回归方程是ybxa，其中b是回归方程的_，a是_，则有 第54讲 知识梳理 正相关 负相关 回归直线 斜率 截距 bi1n（xi x）（yi y）i1n（xi x）2i1nxiyin x yi1nx2in x2，a y b x.第54讲 知识梳理 通过求 Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到回
3、归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法 7回归分析的基本思想及其初步应用(1)回归分析是对具有_关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出_，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报(2)对 n 个样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)，_称为样本点的中心(3)除用散点图外，还可以用样本相关系数 r 来衡量两个变量x，y 相关关系的强弱，其中 第54讲 知识梳理 相关 散点图 (x，y)ri1n（xi x）（i y）i1n（xi x）2j1n（yj y）2 i1nxiyin x yi1nx2in x2j1ny2jn y2.第54讲 知识梳理 当
4、r0，表明两个变量_，当 r0，表明两个变量_，r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间_线性相关关系，通常|r|_时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系(4)用相关指数 R2来刻画回归的效果，公式是 R21i1n iyi2i1n i y2，第54讲 知识梳理 正相关 负相关 几乎不存在 0.75 R2 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果_ 8独立性检验的基本思想及其初步应用(1)若变量的不同“值”表示_，则这类变量称为分类变量(2)列出的两个分类变量的_表，称为列联表(3)利用随机变量 2来判断“两个分类变量有关系”
5、的方法称为_ 独立性检验公式 2_.第54讲 知识梳理 越好 个体所属的不同类别 频数 独立性检验 n（n11n22n12n21）2n1n2n1n2 要点探究 探究点1 线性相关关系的判定第54讲 要点探究 例1 观察下列各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图形是()A B C D 第54讲 要点探究 思路 根据相关关系的概念直接判断 答案 C 解析 相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关由图可以看出，是线性相关，是非线性相关的只有是不相关的选C.点评 散点图的最大优点就是直观，并且制作散点图也较为
6、方便，因此散点图在判断两个变量是否相关的过程中起着重要作用 第54讲 要点探究 2010赣州模拟 某种产品的广告支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：试对变量y与x进行相关性检验 思路 判断两变量有无线性相关关系有两种方法：画出散点图和计算相关系数r.第54讲 要点探究 解答(1)方法一：利用散点图进行相关性检验 观察散点图中各点，发现它们都集中在一条直线附近，因此判断y与x有线性相关关系 第54讲 要点探究 方法二：利用相关系数 r 进行相关性检验 x 2456855，y 3040605070550，x225，y22500，i15x2i2242526282
7、145，i15y2i30240260250270213500，i15xiyi2304405606508701380，r i 1nxi yi n x yi 1nx2i n x2 i 1ny2i n y2 13805550145525 1350052500 13 220 0.92，故 y 与 x 有线性相关关系，且相关程度较高 探究点2 回归直线方程的求法及应用第54讲 要点探究 例 2 2010 年 12 月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班 25 名女同学，15 名男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析(1)如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人？(2)随机抽取
8、 8 位，若这 8 位同学的数学、物理分数对应如表：第54讲 要点探究 根据上表数据用散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由 第54讲 要点探究 解答(1)选取比例为 84015，所以选男生 15153(人)，选女生 25155(人)(2)以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标作散点图如图 思路(1)先求出抽样比例，再求男、女生应选的人数；(2)作散点图，如果散点在某直线附近波动，即可判断具有线性相关关系，再求线性回归方程 第54讲 要点探究 第55讲 要点探究 从散点图
9、可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩是高度正相关 设 y 与 x 线性回归方程是 ybxa，根据所给的数据，利用计算器可以计算出 bi18（xi x）（yi y）i18（xi x）20.65，a34.13，所以 y 与 x 的回归方程是 y0.65x34.13.第55讲 要点探究 点评 求线性回归方程，首先要对两个变量是否具有线性相关性进行判断，判断的方法有两个：一是用散点图进行判断，二是利用相关系数的强弱(计算复杂)当两个变量没有相关关系时，即使可以求出线性回归方程，该方程也是没有实际意义的 探究点3 独立性检验的基本思想及应用第55讲 要点探究 例 3 2
10、009辽宁卷 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：第55讲 要点探究 第55讲 要点探究 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)根据以上统计数据填下面22列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？第54讲 要点探究 思路(1)根据频数分布表进行统计计算；(2)计算卡方统计量，根据临界值进行判断 解答(1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500100%72%；乙厂抽查的产品中有
11、 320 件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500100%64%.第54讲 要点探究 第54讲 要点探究 21000（360180320140）25005006803207.356.635，所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评 独立性检验的一般步骤：列出 22 列联表，假 设 两 个 变 量 无 关 系；根 据 公 式 2 n（adbc）2（ab）（ac）（cd）(bd)计算 2的值；比较 2与临界值的大小关系作出统计推断在对判断结果的精确度要求不是很高的情况下，也可以用二维条形图或三维柱形图来做粗略估计，如下面的变式题 规律总结 第54讲 规律总结
12、1对两个变量的相关情况的判断有两个方法：一是根据散点图，这种方法是从图形上粗略地观察，比较直观、简单易行，但往往对相关程度刻画的不够准确；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近 1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关 第54讲 规律总结 2建立回归模型的步骤：(1)确定研究对象，明确解释变量和预报变量；(2)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否具有线性相关关系)；(3)由经验确定回归方程的类型，主要是线性回归方程；(4)用最小二乘法求线性回归方程；(5)最后是相关性检验，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适 第54讲 规律总结 3利用独立性检验可以考查两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度具体做法是根据公式 2n（n11n22n12n21）2（n1n2n1n2），计算随机变量的观测值k，k 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大
