1、课时提升作业(四十八)双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为21,从而误选C.2.(2022天水模拟)若双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为
2、双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固训练】与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】选C.椭圆=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为=1(m0,n0),则解得m=n=2,故选C.3.(2022沈阳模拟)已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为()A.B.C.2D.【解析】选A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,
3、即2a=6|MF1|6(c-a),故8a6c,即e=4.(2022贵阳模拟)已知双曲线=1(a0)的两条渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心,半径为的圆相切,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.双曲线=1(a0)的渐近线方程为y=;椭圆=1的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切,所以=,解得a=4,所以双曲线的离心率为.5.(2022温州八校联考)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨设P是双曲线右支
4、上的一点,根据定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且ca,所以PF1F2的最小内角为PF1F2=30,根据余弦定理可得cosPF1F2=,又e=,即c=ae代入化简可得e=.【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=
5、0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.【解析】易知圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此双曲线的标准方程为=1.答案: =17.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF|=2a=4.而
6、|PA|+|PF|AF|=5.两式相加得|PF|+|PA|9,当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.8.过已知双曲线=1(b0)的左焦点F1作O:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的离心率为.【解析】如图,因为OCA=60,|OC|=|OA|=2,所以AOC=60,AF1C=30,所以e=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30的直线
7、交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求AOB的面积.【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.所以原点O到直线AB的距离为d=所以SAOB=|AB|d=10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若
8、直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为=1(a0,b0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得所以k2且k22,得2,解得k23,由得,k20,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()【解析】选B.由可解得即Q.由,可解得
9、即P设PQ的中点为N,则N而M(3c,0).所以kMN=-1,即整理得2c3=3a2c,即e2=解得e=【一题多解】本题还可以用如下方法求解:直线BF1的方程为y=x+b,由得P由得Q.从而N点坐标为,则直线MN的方程为从而得M又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=【加固训练】已知双曲线mx2-ny2=1(m0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为()【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m0,n0,所以mn,即故由椭圆mx2+ny2=1得所以所求椭圆的离心率为:e=2.(5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所
10、成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,2B.,2)C.(,+)D.,+)【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足所以即有又双曲线的离心率为所以0,b0).则:(1)当ab0时,双曲线的离心率满足1e0时,e=(亦称为等轴双曲线).(3)当ba0时,e.3.(5分)(2022苏州模拟)已知P为双曲线C: =1上的点,点M满足|=1,且=0,则当|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为.【解析】因为点M满足|=1,所以点M的轨
11、迹是以原点为圆心,1为半径的单位圆.不妨设P为双曲线右支上的任一点,因为=0,所以OMPM,所以OPM为直角三角形,且OMP=90,|OP|为该直角三角形的斜边长;因为P为双曲线C: =1上的点,在RtOPM中,要使直角边|最小,则只需|OP|最小,因为当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时,|OP|最小,此时P(3,0),所以此时点P到双曲线C的渐近线的距离为答案: 4.(12分)设A,B分别为双曲线=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值
12、及点D的坐标.【解析】(1)由题意知a=所以一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).5.(13分)(能力挑战题)双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求
13、时,直线MN的方程.【解析】(1)设直线AB:-=1,由题意,所以所以双曲线方程为-=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为 =(x1,y1-3), =(x2,y2-3),=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=代入有解,所以lMN:y=
14、x-3.【加固训练】双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|,|,|成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tanAOF=,tanAOB=tan2AOF=由倍角公式,得则离心率e=(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=- (x-c),与双曲线方程=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有解得b=3,故所求的双曲线方程为=1.
